如图，已知抛物线y=ax2+bx-2与x轴的两个交点是A（4，0），B（1，0），与y轴的交点是C．（1）求该抛物线的
如图，已知抛物线y=ax2+bx-2与x轴的两个交点是A（4，0），B（1，0），与y轴的交点是C．（1）求该抛物线的
如图，已知抛物线y=ax2+bx-2与x轴的两个交点是A（4，0），B（1，0），与y轴的交点是C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D，使得△DCA的面积最大？若存在，求出点D的坐标及△DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）设抛物线的顶点是F，对称轴与AC的交点是N，P是在AC上方的该抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，交AC于M．若P点的横坐标是m．问：
①m取何值时，过点P、M、N、F的平面图形不是梯形？
②四边形PMNF是否有可能是等腰梯形？若有可能，请求出此时m的值；若不可能，请说明理由．
如图，已知抛物线y=ax2+bx-2与x轴的两个交点是A（4，0），B（1，0），与y轴的交点是C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D，使得△DCA的面积最大？若存在，求出点D的坐标及△DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）设抛物线的顶点是F，对称轴与AC的交点是N，P是在AC上方的该抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，交AC于M．若P点的横坐标是m．问：
①m取何值时，过点P、M、N、F的平面图形不是梯形？
②四边形PMNF是否有可能是等腰梯形？若有可能，请求出此时m的值；若不可能，请说明理由．
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（1）∵该抛物线过点C（0，-2），
∴可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx-2．
将A（4，0），B（1，0）代入y=ax2+bx-2，
得
16a+4b?2＝0
a+b＝0，
解得：
a＝?
1
2
b＝
5
2．
∴该抛物线的解析式为y=-[1/2]x2+[5/2]x-2．
（2）存在．
如图1，设D点的横坐标为t（0＜t＜4），则D点的纵坐标为-[1/2]t2+[5/2]t-2．
过D作y轴的平行线交AC于E．
设直线AC的解析式为：y=mx+n，
则
n＝?2
4m+n＝0
解得：
m＝
1
2
n＝?2，
由题意可求得直线AC的解析式为y=[1/2]x-2．
∴E点的坐标为（t，[1/2]t-2）．
∴DE=-[1/2]t2+[5/2]t-2-（[1/2]t-2）=-[1/2] t2+2t．
∴S△DCA=S△CDE+S△ADE=[1/2]×DE×OA=[1/2]×（-[1/2]t2+2t）×4=-t2+4t=-（t-2）2+4．
∴当t=2时，S最大=4．
∴当D（2，1），△DAC面积的最大值为4．
（3）存在．∵y=-[1/2]x2+[5/2]x-2=-[1/2]（x-[5/2]）2+[9/8]．
∴F（[5/2]，[9/8]）
①Ⅰ当P和F重合时，P、M、N、F成一条直线，不能构成梯形，此时m=[5/2]．
Ⅱ如图2，设P（m，-[1/2]m2+[5/2]m-2）（0＜m＜[5/2]）．作PM⊥x轴，FN是对称轴，
∴PM∥FN
∴当PM=FN时P、M、N、F的平面图是平行四边形，不是梯形．
由于N（[5/2]，-[3/4]），M（m，[1/2]m-2）
∴PM（-[1/2]m2+[5/2]m-2）-（[1/2]m-2）=-[1/2]m2+2m，
FN=[9/8]-（-[3/4]）=[15/8]
当PM=FN时
即：-[1/2]m2+2m=[15/8]，解得m=[3/2]，m=[5/2]（舍去）
∴当m=[3/2]，m=[5/2]时过P、M、N、F的平面图形不是梯形．
（3）四边形PMNF可能是等腰梯形．
过抛物线上的点P′垂直于x轴的直线交AC于M′，
由于m=[3/2]时，四边形PMNF是平行四边形，所以PF=MN，
根据抛物线的对称性，当m=[7/2]时，有P′F=M′N，此时梯形P′FNM′是等腰梯形．
∴可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx-2．
将A（4，0），B（1，0）代入y=ax2+bx-2，
得
16a+4b?2＝0
a+b＝0，
解得：
a＝?
1
2
b＝
5
2．
∴该抛物线的解析式为y=-[1/2]x2+[5/2]x-2．
（2）存在．
如图1，设D点的横坐标为t（0＜t＜4），则D点的纵坐标为-[1/2]t2+[5/2]t-2．
过D作y轴的平行线交AC于E．
设直线AC的解析式为：y=mx+n，
则
n＝?2
4m+n＝0
解得：
m＝
1
2
n＝?2，
由题意可求得直线AC的解析式为y=[1/2]x-2．
∴E点的坐标为（t，[1/2]t-2）．
∴DE=-[1/2]t2+[5/2]t-2-（[1/2]t-2）=-[1/2] t2+2t．
∴S△DCA=S△CDE+S△ADE=[1/2]×DE×OA=[1/2]×（-[1/2]t2+2t）×4=-t2+4t=-（t-2）2+4．
∴当t=2时，S最大=4．
∴当D（2，1），△DAC面积的最大值为4．
（3）存在．∵y=-[1/2]x2+[5/2]x-2=-[1/2]（x-[5/2]）2+[9/8]．
∴F（[5/2]，[9/8]）
①Ⅰ当P和F重合时，P、M、N、F成一条直线，不能构成梯形，此时m=[5/2]．
Ⅱ如图2，设P（m，-[1/2]m2+[5/2]m-2）（0＜m＜[5/2]）．作PM⊥x轴，FN是对称轴，
∴PM∥FN
∴当PM=FN时P、M、N、F的平面图是平行四边形，不是梯形．
由于N（[5/2]，-[3/4]），M（m，[1/2]m-2）
∴PM（-[1/2]m2+[5/2]m-2）-（[1/2]m-2）=-[1/2]m2+2m，
FN=[9/8]-（-[3/4]）=[15/8]
当PM=FN时
即：-[1/2]m2+2m=[15/8]，解得m=[3/2]，m=[5/2]（舍去）
∴当m=[3/2]，m=[5/2]时过P、M、N、F的平面图形不是梯形．
（3）四边形PMNF可能是等腰梯形．
过抛物线上的点P′垂直于x轴的直线交AC于M′，
由于m=[3/2]时，四边形PMNF是平行四边形，所以PF=MN，
根据抛物线的对称性，当m=[7/2]时，有P′F=M′N，此时梯形P′FNM′是等腰梯形．
1年前
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