海口宇垣 幼苗
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(Ⅰ)∵f(x)=ax+xlnx,∴f'(x)=a+lnx+1.
∵函数f(x)=ax+xlnx在x=[1/e]处取得极小值,
∴ln[1/e]+1+a=0,
∴a=0,
∴f(x)=xlnx,
令g(x)=f(x)-bx+e=xlnx-bx+e(x>0),则g′(x)=lnx+1-b,
由g′(x)>0得,x>eb-1,∴g(x)在(eb-1,+∞)上递增,
由g′(x)<0得,0<x<eb-1,∴g(x)在(0,eb-1)上递减,
∴g(x)min=g(eb-1)≥0,
可得b≤2,实数b的取值范围为(-∞,2].
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知b=2,f(x)-bx+e≥0,x=e时等号成立,
∵m,n∈(0,e),且m+n=e,
∴f(m)>2m-e,f(n)>2n-e,
∴f(m)+f(n)>2(m+n)-2e=0,
∴f(m)+f(n)>0.
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.
考点点评: 本题考查利用导数研究函数的最值,考查恒成立问题,着重考查构造函数思想的应用,体现综合分析问题与解决问题能力,属于中档题.
1年前
(2014•临汾模拟)已知函数f(x)=ax2+x-xlnx,
1年前1个回答
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