杜瑶琴 幼苗
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令x取x+1代入f(1+x)=-f(1-x)得,f(x+2)=-f(-x)
∵函数y=f(x)为奇函数,∴f(x+2)=f(x),则函数是周期为2的周期函数,
设0<x<1,则2<x+2<3,
∵当x∈(2,3)时,f(x)=log2(x-1),
∴f(x)=f(x+2)=log2(x+1),
设-1<x<-0,则0<-x<1,
由f(x)=-f(-x)得,f(x)=-log2(-x+1),
根据奇函数的性质和周期函数的性质画出函数的图象:
由上图得,函数y=f(x)的图象关于点(k,0)(k∈Z)成中心对称;
且函数y=|f(x)|的图象是将y=f(x)的图象在x轴下方的部分沿x轴对称过去,其他不变,
则函数y=|f(x)|是以2为周期的周期函数;
故①②③正确,
而函数y=f(|x|)=
f(x)x≥0
f(−x)x<0,则图象如下图:
由图得,图象关于y轴对称,故y=f(|x|)在(k,k+1)( k∈Z)上不是单调递增的,
故④不正确,
故答案为:①②③.
点评:
本题考点: 抽象函数及其应用.
考点点评: 本题考查了抽象函数的奇偶性、周期性的综合应用,以及对数函数的图象,考查了数形结合思想和转化能力,难度较大.
1年前
1年前1个回答
(本小题满分12分)已知函数 的定义域为R,对任意的 都满足。
1年前1个回答
1年前2个回答
1年前1个回答
已知函数f(x)=sinx/x,证明:对定义域内任意x,f(x)
1年前1个回答
1年前1个回答
你能帮帮他们吗