kkb2001 幼苗
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(Ⅰ)( i)因为f(1)=1,所以m=1,(1分)
则f(x)=(x-1)3+1=x3-3x2+3x,
而f'(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0恒成立,
所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞). (4分)
( ii)不等式f(x)≥x3-1在区间[1,2]上有解,
即不等式3x2-3x-m≤0在区间[1,2]上有解,
即不等式m≥3x2-3x在区间[1,2]上有解,
等价于m不小于3x2-3x在区间[1,2]上的最小值,(6分)
因为x∈[1,2]时,3x2−3x=3(x−
1
2)2−
3
4∈[0,6],
所以m的取值范围是[0,+∞). (9分)
(Ⅱ)因为f(x)=x3的对称中心为(0,0),
而f(x)=(x-t)3+m可以由f(x)=x3经平移得到,
所以f(x)=(x-t)3+m的对称中心为(t,m),
故猜测,若直线l1与l2平行,则点A与点B关于点(t,m)对称.(10分)
对猜想证明如下:
因为
f(x)=(x−t)3+m=x3−3tx2+3t2x−t3+m所以f'(x)=3x2-6tx+3t2=3(x-t)2
所以,l1,l2的斜率分别为k1=3(x1−t)2,k2=3(x2−t)2.
又直线l1与l2平行,所以k1=k2,即(x1−t)2=(x2−t)2,
因为x1≠x2,
所以,x1-t=-(x2-t),(12分)
从而(x1−t)3=−(x2−t)3,
所以f(x1)+f(x2)=(x1−t)3+m+(x2−t)3+m=−(x2−t)3+m+(x2−t)3+m=2m.
又由上x1+x2=2t,
所以点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))(x1≠x2)关于点((t,m)对称.
故直线l1与l2平行时,点A与点B关于点(t,m)对称. (14分)
点评:
本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性;直线的一般式方程与直线的平行关系.
考点点评: 本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用,考查运算求解能力,推理论证能力;考查化归与转化思想.综合性强,难度大,有一定的探索性,对数学思维能力要求较高,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答.
1年前
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