在棱长为 a 的正方体 ABCD — A ′ B ′ C ′ D ′中， E 、 F 分别是 BC 、 A ′ D ′的

(1)解 如图所示，在平面 ABCD 内，过 C 作 CP ∥ DE ，交直线 AD 于 P ，则∠ A ′ CP (或补角)为异面直线 A ′ C 与 DE 所成的角
在△ A ′ CP 中，易得 A ′ C = a ， CP = DE = a , A ′ P = a
由余弦定理得cos A ′ CP =
故 A ′ C 与 DE 所成角为arccos
(2)解 ∵∠ ADE =∠ ADF ,∴ AD 在平面 B ′ EDF 内的射影在∠ EDF 的平分线上（如图）又可证明四边形 B ′ EDF 为菱形（证明略），∴ DB ′为∠ EDF 的平分线，
故直线 AD 与平面 B ′ EDF 所成的角为∠ ADB ′，
在Rt△ B ′ AD 中， AD = a ， AB ′= a , B ′ D = a ，
则cos ADB ′= ，故 AD 与平面 B ′ EDF 所成的角是arccos
(3)解 如图，连结 EF 、 B ′ D ，交于 O 点，显然 O 为 B ′ D 的中点，从而 O 为正方形 ABCD — A ′ B ′ C ′ D 的中心，作 OH ⊥平面 ABCD ，则 H 为正方形 ABCD 的中心，再作 HM ⊥ DE ，垂足为 M ，连结 OM ，则 OM ⊥ DE ，故∠ OMH 为二面角 B ′— DE ′— A 的平面角
在Rt△ DOE 中， OE = a , OD = a ,斜边 DE = a ,
则由面积关系得 OM = a
在Rt△ OHM 中，sin OMH =
故面 B ′ EDF 与面 ABCD 所成的角为arcsin
方法二（向量法）
（1） 如图建立坐标系，则


故 A ′ C 与 DE 所成角为arccos
（2）∵∠ ADE =∠ ADF ,∴ AD 在平面 B ′ EDF 内的射影在∠ EDF 的平分线上 如下图所示 又∵ B ′ EDF 为菱形，∴ DB ′为∠ EDF 的平分线，
故直线 AD