已知sin（2α+β）=3sinβ，设tanα=x，tanβ=y，记y=f（x）．

（Ⅰ）∵sin（2α+β）=3sinβ，
∴sin2αcosβ+cos2αsinβ=3sinβsin2αcosβ=sinβ（3-cos2α）
tanβ=
sin2α
3-cos2α =
2sinαcosα
3-2 cos 2 α+1 =
2sinαcosα
4 sin 2 α+2 cos 2 α =
tanα
2 tan 2 α+1
∴ f(x)=
x
2 x 2 +1
（Ⅱ）∵
a 2n+1 =2 a n f(n)=2 a n •
a n
2
a 2n +1 =
2
a 2n
2
a 2n +1
∴
1

a 2n+1 =1+
1
2
a 2n
∴
1

a 2n+1 -2=
1
2 (
1

a 2n -2)
∴数列 {
1

a 2n -2} 是以2为首项，
1
2 为公比的等比数列．
（Ⅲ）∵ b n =
1

a 2n - 2 n a 1 =
1
2
∴ S n =
2[1- (
1
2 ) 2 ]
1-
1
2 =4[1- (
1
2 ) 2 ]
又 S n ＞
31
8 即4[1- (
1
2 ) n ]＞
31
8
∴ (
1
2 ) n ＜
1
32 ∴n＞5
∴满足 S n ＞
31
8 的最小n为6 ．