∫∫|cos(x+y)|dxdy 其中A=[0,π]*[0,π] 这种绝对值的二重积分要怎麼做?

∵A=[0,π]*[0,π]
∴0≤x+y≤2π
∵当0≤x+y≤π/2时,cos(x+y)≥0
当π/2≤x+y≤3π/2时,cos(x+y)≤0
当3π/2≤x+y≤2π时,cos(x+y)≥0
∴∫∫|cos(x+y)|dxdy=∫dx[∫cos(x+y)dy-∫cos(x+y)dy]
+∫dx[-∫cos(x+y)dy+∫cos(x+y)dy]
=∫[(sin(π/2)-sinx)-(sin(π+x)-sin(π/2))]dx
+∫[(sin(π+x)-sin(3π/2))-(sin(3π/2)-sinx)]dx
=2∫dx+2∫dx
=2*(π/2)+2*(π-π/2)
=2π.

第一步：
方法一：将x+y代换为u，x-y代换为V；
方法二：cos（x+y）=cosxcosy-sinxsiny；

第二步：确定区间，将绝对值去掉，变成分段积分。

积分区域为矩形，不过原点的对角线以下被积函数为cos(x+y)，以上为-cos(x+y).