7735602 幼苗
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(本小题共12分)
(Ⅰ)∵f(2+x)=f(2-x),∴函数的对称轴为x=2,
∵二次函数f(x)=ax2+bx+c,
∴−
b
2a=2…①,
又f(x)>0的解集为(-2,c).
∴ax2+bx+c=0的两个根是-2,c;并且a<0.
即4a-2b+c=0…②,ac2+bc+c=0…③,
解①②③,解得a=-[1/2],b=2,c=6.
∴函数的解析式为:f(x)=−
1
2x2+2x+6.
(Ⅱ)f(x)在区间[m,m+1]的最大值记为h(m),
当m+1<2即m<1时,
f(x)=−
1
2x2+2x+6,在[m,m+1]上函数是增函数,
函数的最大值为f(m+1)=−
1
2m2+m+
15
2.
当m>2时,
f(x)=−
1
2x2+2x+6,在[m,m+1]上函数是减函数,
函数的最大值为f(m)=−
1
2m2+2m+6.
当m≤2≤m+1即1≤m≤2时,
f(x)=−
1
2x2+2x+6,在[m,m+1]上函数的最大值为f(2)=8.
综上:h(m)=
8,1≤m≤2
−
1
2m2+2m+6,m>2
−
1
2m2+m+
15
2,m<1,
函数h(m)的图象为:
所以函数h(m)的最大值为8.
点评:
本题考点: A:二次函数在闭区间上的最值 B:函数解析式的求解及常用方法
考点点评: 本题考查二次函数闭区间上的最大值的求法,函数的解析式的求法,考查转化思想以及计算能力.
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你能帮帮他们吗