如图,点P是圆O外的一点,PS,PT是圆O的两条切线,过点P作圆O的割线PAB,交圆O于A、B两点,并交ST于点C,求证

过点P作PH⊥ST,垂足为H,则H是ST的中点,
由勾股定理,得
PC2=PH2+CH2=PS2-SH2+CH2=PS2-(SH-CH)(SH+CH)=PS2-SC•CT
利用切割线定理和相交弦定理
有PC2=PS2-SC•CT=PA•PB-AC•CB=PA•PB-(PC-PA)(PB-PC)=2PA•PB-(PA+PB)PC+PC2
两式合并得
PC2=2PAPB/PA+PB
即1/PC=1/2*(1/PA+1/PB)
这道题目主要要注意对代数式的变形,其他应该还不算难.

先化简求证式子，得到：2×PA×PB=PA×PC+PB×PC

过点P作圆O的割线PDE，交圆O于D、E两点，并交ST于点F,且直线PDE和直线PAB关于PO轴对称。

由于对称性和简单几何证明，可以得到AE和DB和ST三线相交于点G。

设角APD为X，原式子两边同乘以SINX则可以得到：

2×PA×PB×SINX=PA×PC×SINX+PB×PC×SINX

因为对称性，左边化为PA×PE×SINX+PD×PB×SINX=PE×PC×SINX+PB×PF×SINX

左边为三角形PAE和三角形PDB的面积和，右边为三角形PEC和三角形PBF面积和。

两边将相同部分去掉，只需证明三角形ADE的面积=三角形ADF和BDF的面积和相等就可以了。

因为AD平行CF所以三角形面积ADF=三角形面积ADG

所以只需证明三角形DBF和三角形DGE面积相等就可以了。

由于三角形面积BDF可以看成是GF对应的底乘以二分之一的BD在GF方向上的高；

三角形面积DGE可以看成是GF对应的底乘以二分之一的EF在GF方向上的高。

由于BD在GF方向上的高=EF在GF方向上的高

所以它们相等，原式子的证。