如图所示，半径为2 的⊙O内有互相垂直的两条弦AB、CD相 交于P点。
如图所示，半径为2 的⊙O内有互相垂直的两条弦AB、CD相 交于P点。（1）求证：PA·PB=PC·PD； （2）设BC中点为F，连结FP并延长交AD于E，求证：EF⊥AD； （3）若AB=8，CD=6，求OP的长。 |
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（1） ∵∠A、∠C所对的圆弧相同，
∴∠A=∠C，
∴Rt△APD∽Rt△CPB，
∴
，
∴PA·PB=PC·PD；
（2）∵F为BC的中点，△BPC为Rt△，
∴FP=FC，
∴∠C=∠CPF，
又∠C=∠A，∠DPE=∠CPF，
∴∠A=∠DPE，
∵∠A+∠D=90°，
∴∠DPE+∠D=90°，
∴EF⊥AD；
（3）作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N， 由垂径定理，
∴OM 2 =（2
） 2 -4 2 =4，ON2=（2
） 2 -3 2 =11，
又易证四边形MONP是矩形MONP矩形，
∴OP=
。
∴∠A=∠C，
∴Rt△APD∽Rt△CPB，
∴
， ∴PA·PB=PC·PD；
（2）∵F为BC的中点，△BPC为Rt△，
∴FP=FC，
∴∠C=∠CPF，
又∠C=∠A，∠DPE=∠CPF，
∴∠A=∠DPE，
∵∠A+∠D=90°，
∴∠DPE+∠D=90°，
∴EF⊥AD；
（3）作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N， 由垂径定理，
∴OM 2 =（2
） 2 -4 2 =4，ON2=（2
） 2 -3 2 =11，又易证四边形MONP是矩形MONP矩形，
∴OP=
。
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你能帮帮他们吗