设函数fn(x)＝xn+bx+c(n∈N+，b，c∈R)

解题思路：（Ⅰ）求导数，验证f_n′（x）＞0，即可得到结论；
（Ⅱ）将n＞2，b=1，c=-1代入可得f_n（x）=xⁿ+x-1，结合指数函数的性质可得f_n′（x）=nx^n-1+1＞0在（[1/2]，1）上恒成立，进而判断出函数在区间上单调，分析区间两端点的函数值符号关系，进而根据零点存在定理，可得答案；
（Ⅲ）将n=2，根据|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4，分类讨论不同情况下b的取值范围，综合讨论结果，可得b的取值范围．

（Ⅰ）∵fn(x)＝xn+bx+c，
∴fn′(x)＝nxn−1+b
∵b＞0，x＞0，n∈N₊
∴f_n′（x）＞0
∴函数f_n（x）在（0，+∞）上的单调递增；
（Ⅱ）证明：由n＞2，b=1，c=-1，得f_n（x）=xⁿ+x-1
∴f_n′（x）=nx^n-1+1＞0在(
1
2，1)上恒成立，
∴f_n（x）=xⁿ+x-1在(
1
2，1)单调递增，
∵f_n（1）=1＞0，f_n（[1/2]）=(
1
2)n−
1
2＜0，
∴f_n（x）在区间(
1
2，1)内存在唯一的零点；
（Ⅲ）当n=2时，f₂（x）=x²+bx+c
①当b≥2或b≤-2时，即-[b/2]≤-1或-[b/2]≥1，此时只需满足|f₂（1）-f₂（-1）|=|2b|≤4
∴-2≤b≤2，即b=±2；
②当0≤b＜2时，即-1＜-[b/2]≤0，此时只需满足f₂（1）-f₂（-[b/2]）≤4，即b²+4b-12≤0
解得：-6≤b≤2，即b∈[0，2）
③当-2＜b＜0时，即0＜-[b/2]＜1，此时只需满足f₂（-1）-f₂（-[b/2]）≤4，即b²-4b-12≤0
解得：-2≤b≤6，即b∈（-2，0）
综上所述：b∈[-2，2]．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数的零点；绝对值不等式的解法．

考点点评： 本题考查零点存在定理，导数法判断函数的单调性，待定系数法求范围，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．