用数学归纳法证明：（a1²+a2²+……+an²）（b1²+b2²+…

1)
n=1时,左边=a1^2b1^2、右边=a1^2b1^2,左边=右边,命题成立.
2)
假设n=k时命题成立,即(a1^2+a2^2+…+ak^2)(b1^2+b2^2+…+bk^2)>=(a1b1+a2b2+…+akbk)^2.
3)
求证n=k+1时命题成立.
[a1^2+a2^2+…+ak^2+a(k+1)^2][b1^2+b2^2+…+bk^2+b(k+1)]
=(a1^2+a2^2+…+ak^2)(b1^2+b2^2+…+bk^2)+(a1^2+a2^2+…+ak^2)b(k+1)^2+(b1^2+b2^2+…+bk^2)a(k+1)^2+[a(k+1)b(k+1)]^2
>=(a1b1+a2b2+…+akbk)^2+2√[(a1^2+a2^2+…+ak^2)(b1^2+b2^2+…+bk^2)]a(k+1)b(k+1)+[a(k+1)b(k+1)]^2
>=(a1b1+a2b2+…+akbk)^2+2(a1b1+a2b2+…+akbk)a(k+1)b(k+1)+[a(k+1)b(k+1)]^2
=[a1b1+a2b2+…+akbk+a(k+1)b(k+1)]^2
n=k+1时命题成立.
综上所述,对于n为正整数,都有：
(a1^2+a2^2+…+an^2)(b1^2+b2^2+…+bn^2)>=(a1b1+a2b2+…+anbn)^2
.

柯西不等式形式为： (a12+a22+a32+…+an2)(b12+b22+b32+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn)2 当且仅当a1/b1=a2/b2=a3/b3=…=an/bn时等号成立设n=k时该不等式成立，则有 (a12+a22+a32+…+ak2)(b12+b22+b32+…+bk2)≥(a1b1+a2b2+a3b3+…+akbk)2 当且仅当a1/b1=a2/...

（1）构造二次函数：f（x）=（a1x+b1）2+（a2x+b2）2+…+（anx+bn）2=（a12+a22+…+an2）x2+2（a1b1+a2b2+…+anbn）x+（b12+b22+…+bn2）≥0，
∴△=4（a1b1+a2b2+…+anbn）2-4（a12+a22+…+an2）（b12+b22+…+bn2）≤0，
即：（a12+a22+…+an2）•（b12...

1)n=1时，左=a1^2b1^2、右=a1^2b1^2，左=右，成立。
2)假设n=k时成立，即(a1^2+a2^2+…+ak^2)(b1^2+b2^2+…+bk^2)>=(a1b1+a2b2+…+akbk)^2。
3)求证n=k+1时成立。
由 [a1^2+a2^2+…+ak^2+a(k+1)^2][b1^2+b2^2+…+bk^2+b(k+1)]
=(a1^2...