在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ （0°＜θ＜180

（Ⅰ）证明：如图①，
∵AB∥CB'，
∴∠BCB'=∠ABC=30°，
∴∠ACA'=30°．
又∵∠ACB=90°，
∴∠A'CD=60°．
又∵∠CA'B'=∠CAB=60°，
∴△A'CD是等边三角形．

（Ⅱ） 证明：如图②，
∵AC=A'C，BC=B'C，
∴[AC/BC=
A′C
B′C]．
又∵∠ACA'=∠BCB'，
∴△ACA'∽△BCB'．
∵[AC/BC]=tan30°=

3
3，
∴S₁：S₂=AC²：BC²=1：3．

（Ⅲ）当θ=120°时，EP的长度最大，EP的最大值为[3/2a．
如图，连接CP，当△ABC旋转到E、C、P三点共线时，EP最长，
此时θ=∠ACA′=120°，
∵∠B′=30°，∠A′CB′=90°，
∴A′C=AC=
1
2]A′B′=a，
∵AC中点为E，A′B′中点为P，∠A′CB′=90°
∴CP=[1/2]A′B′=a，EC=[1/2]a，
∴EP=EC+CP=[1/2]a+a=[3/2]a．

点评：
本题考点： 相似形综合题．

考点点评： 本题考查了旋转的性质，特殊三角形的判定与性质，相似三角形的判断与性质．关键是根据旋转及特殊三角形的性质证明问题．