设f（x）是定义在R上的函数，对任意x，y∈R，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．

设f（x）是定义在R上的函数，对任意x，y∈R，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求f（0）的值；
（2）求证f（x）为奇函数；
（3）若函数f（x）是R上的增函数，已知f（1）=1，且f（2a）＞f（a-1）+2，求a的取值范围．
zuoxin886 1年前 已收到11个回答 举报
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melissa_tan 幼苗

共回答了23个问题采纳率：91.3% 举报

解题思路：（1）令x=0，代入f（x+y）=f（x）+f（y）可构造一个关于f（0）的方程，解方程即可得到答案；
（2）令y=-x，f（x+y）=f（x）+f（y），可得到f（-x）与f（x）的关系，结合函数奇偶性的定义即可得到结论；
（3）由f（1）=1，我们根据f（x+y）=f（x）+f（y），易得f（2）=2，故可将f（2a）＞f（a-1）+2转化为一个关于a的二次不等式，解不等式即可得到a的取值范围．

（1）令y=x=0得
f（0）=2f（0）
∴f（0）=0
（2）令y=-x得f（0）=f（x）+f（-x）→f（-x）=-f（x）
又函数的定义域为R
∴f（x）为奇函数
（3）∵f（x+y）=f（x）+f（y）又f（1）=1
∴2=f（1）+f（1）=f（1+1）=f（2）
∴f（2a）＞f（a-1）+2即为f（2a）＞f（a-1）+f（2）
又f（a-1）+f（2）=f（a-1+2）=f（a+1）
∴f（2a）＞f（a+1）
又函数f（x）是R上的增函数
∴2a＞a+1得a＞1
∴a的取值范围是{a|a＞1}

点评：
本题考点： 函数奇偶性的判断；抽象函数及其应用．

考点点评： 本题考查的知识点是抽象函数函数值的求法，单调性的判断及单调性的应用，其中抽象函数“凑”的思想是解答的关键．

1年前

8

阿蛋妞妞 幼苗

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第一问：令x=y=0你会发现f(0)=0；
第二问：令y=-x，你会发现f(0)=f(x)+f(-x)=0而且f(0)=0，符合奇函数定义，所以为奇函数；
第三问：因为f(2)=f(1)+f(1)=2,而且f(x)是增函数，所以使得f(x)=2的x只有2,所以f(2a)>f(a-1)+2=f(a-1)+f(2)=f(a+1),又因为是增函数，所以2a>a+1，得到a>1...

1年前

2

尼姑拉丁 幼苗

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解，
（1）令x=y=0，则f(0+0)=f(0)+f(0)=f(0) f(0)=0
（2）证明：令x=-y，则f(x+y)=f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0
f(x)=-f(-x)
所以f(x)为奇函数
（3）∵函数f(x)是R上的增函数，∴f(2)=2f(1)=2;
故 元不等式为 ：f(2a)>f(a-1)+...

1年前

2

梦魂归处 幼苗

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1。令x=0,y=o,f(0)=f(0)+f(0),f(0)=0
2.令y=-x,f(0)=f(x)+f(-x)=0,f(x)=-f(-x)
3.f(2)=f(1)+f(1)=2
f(2a)>f(a-1)+f（2）=f(a+1)
因为增函数2a>a+1,a>1

1年前

2

CB75927 幼苗

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1，令x=y=0,可得：f（0）=0：
2‘令x=-y；可得f(x)=-f(-x);所以f(x)为奇函数；
3，函数f(x)是R上的增函数，∴f(2)=2f(1)=2;
故 元不等式为 ：f(2a)>f(a-1)+f（2）=f（a+1）；
∴2a>a+1， ∴a>1.

1年前

1

痛苦不在 幼苗

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1.令x=y=0，有：
f(0+0)=f(0)+f(0)
即
f(0)=2f(0)
f(0)=0
2.令x=-y，有：
f(-y+y)=f(-y)+f(y)
即：f(0)=f(-y)+f(y)
0=f(-y)+f(y)
所以f(x)是奇函数。
3.由f(2a)>f(a-1)+2可得：
f(a)+f(a)>f(a...

1年前

1

你就装吧你 幼苗

共回答了1个问题 举报

1. 设x=0
f(0+y)=f(0)+f(y)
f(y)=f(0)+f(y)
所以f(0)=0
2. 设一个未知数为x另一个为 -x
f(x)+f(-x)=f(x-x)=f(0)=0所以为奇函数
3.又因为f(2a)>f(a-1)+2
所以f(a)+f(a)>f(a)+f(-1)+2
f(a)+f(a)>f(a)-f(1)+2 ...

1年前

1

xiuqi2001 幼苗

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1.令x=y=0，有：f(0+0)=f(0)+f(0)
即f(0)=2f(0)，f(0)=0
2.令y=-x，则f(x)+f(y)=f(x)+f(-x)=0,
f(x)为奇函数
3.f(2a)=2f(a)
f(a-1)+2=f(a)-f(1)+2f(1)=f(a)+f(1)
f(a)>f(1)
函数f(x)是R上的增函数
a>1
满意的 加为最佳答案

1年前

1

zhl_fwwever 幼苗

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(1)因f=f+f
故f<0>=f<0+0>=2f<0>
故f<0>=0
(2)由题得
t

1年前

0

望风而逃 幼苗

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①令x=y=0 ,代入条件，得f(0)=f(0)+f(0),所以f(0)=0
②令y=-x,代入条件，得f(x-x)=f(0)=f(x)+f(-x),得到f(-x)=-f(x)
所以f(x)是奇函数
③令x=y=1,得f(2)=f(1)+f(1)=2
所以f(2a)>f(a-1)+2等价于f(2a)>f(a-1)+f(2)...

1年前

0

西山顶上 幼苗

共回答了6个问题 举报

1. 因为对任何x,y属于R，恒有f(x+y)=f(x)+f(y) 故f（0+0）=f（0）+f（0）
则f（0）=0
2. 令y=-x 带入到f(x+y)=f(x)+f(y) 有f（0）=f（x）+f(-x) 则f（x）=-f （-x） 故函数为奇函数
3. 因为f（2a）=f(a)+f(a) f(a-1)=f(a)-f(1) 故原...

1年前

0
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