已知F 1 、F 2 是双曲线 C： x 2 - y 2 15 =1 的两个焦点，若离心率等于 4 5 的椭圆E与双曲线

（1）∵F ₁ 、F ₂ 是双曲线 C： x 2 -
y 2
15 =1 的两个焦点，∴ c=
1+15 =4
不妨设F ₁ （-4，0）、F ₂ （4，0）．
∵椭圆E与双曲线C的焦点相同．
∴设椭圆E的方程为
x 2
a 2 +
y 2
b 2 =1 （a＞b＞0）
∵根据已知得

c=4

c
a =
4
5
b 2 = a 2 - c 2 ，解得

c=4
a=5
b 2 =9
∴椭圆E的方程为
x 2
25 +
y 2
9 =1
（2）直线l：mx+ny=1与曲线M有两个公共点．
理由是：
∵动点P（m，n）满足|PF ₁ |+|PF ₂ |=10，∴P（m，n）是椭圆E上的点，
∴
m 2
25 +
n 2
9 =1 ，∴ n 2 =9-
9
25 m 2 ，0≤m ² ≤25
∵曲线M是圆心为（0，0），半径为 r=
2 的圆
圆心（0，0）到直线l：mx+ny-1=0的距离 d=
1

m 2 + n 2 =
1

9+
16
25 m 2 ≤
1

9+0 =
1
3 ＜
2
∴直线l：mx+ny=1与曲线M有两个公共点．
设直线l：mx+ny=1截曲线M所得弦长t， t=2
r 2 - d 2 =2
2-
1
9+
16
25 m 2 在0≤m ² ≤25上递增
∴当m ² =25，m=±5，n=0，即 l：x=±
1
5 时，t最大为
14
5 ．