求含复合函数的定积分需要先求复合函数的导数吗?

精确点的说法是求"微分"
而对于比较简单的积分时,最常用的方法是"凑微分"
由于√(1 - x^2)的导数是(0 - 2x)/[2√(1 - x^2)] = - x/√(1 - x^2)
即 d√(1 - x^2) = - x/√(1 - x^2) dx
即dx = - √(1 - x^2)/x * d√(1 - x^2)
所以∫(a→b) x/√(1 - x^2) dx
= ∫(a→b) x/√(1 - x^2) * - √(1 - x^2)/x * d√(1 - x^2)
= - ∫(a→b) d√(1 - x^2)
= - √(1 - x^2)
= √(1 - a^2) - √(1 - b^2)
如果不了解凑微分方法的话,尝试用换元u = √(1 - x^2)吧
其实要论真正的过程,不一定说是求微分,说求不定积分也可以的
∫(a→b) x/√(1 - x^2) dx
= ∫(a→b) 1/√(1 - x^2) * [x dx],注意分子上的x
= ∫(a→b) 1/√(1 - x^2) * d(∫ x dx),将x移进d里,变为对x求不定积分
= ∫(a→b) 1/√(1 - x^2) * d(x^2/2 + C),把常数1/2提取出来
= ∫(a→b) 1/√(1 - x^2) * d(x^2/2),这里的常数C变为0
= (1/2)∫(a→b) 1/√(1 - x^2) * d(x^2),再将d里面的东西凑成1 - x^2
= (1/2)∫(a→b) 1/√(1 - x^2) * d[(- 1)(- x^2)],先弄个- 1出来,无中生有
= (- 1/2)∫(a→b) 1/√(1 - x^2) * d(- x^2),将一个- 1搬到积分号外
= (- 1/2)∫(a→b) 1/√(1 - x^2) * d(1 - x^2),常数可任意加上,于是弄个1
到了这步可发现跟∫ 1/√x dx的形式是一样的,于是把整个(1 - x^2)当是自变量,直接积分了
= (- 1/2) * [(1 - x^2)^(- 1/2 + 1)]/(- 1/2 + 1)] |(a→b),当是求∫ 1/√x dx,公式照用
= (- 1/2) * 2 * (1 - x^2)^(1/2) |(a→b)
= - √(1 - x^2) |(a→b)
= √(1 - a^2) - √(1 - b^2)
下面那个比较长的步骤用的方法是较高层次的,一旦熟练了就会做得很快,几步就完成：
∫(a→b) x/√(1 - x^2) dx
= ∫(a→b) 1/√(1 - x^2) d(x^2/2)
= (- 1/2)∫(a→b) 1/√(1 - x^2) d(1 - x^2)
= (- 1/2) * 2√(1 - x^2) |(a→b)
= √(1 - a^2) - √(1 - b^2)
做熟了就能浓缩到这几步了,只写出必要的步骤,熟练的做法.