已知a∈R，函数f（x）=x3-3x2+3ax-3a+3．

（Ⅰ）因为f（x）=x³-3x²+3ax-3a+3，所以f′（x）=3x²-6x+3a，
故f′（1）=3a-3，又f（1）=1，所以所求的切线方程为y=（3a-3）x-3a+4；
（Ⅱ）由于f′（x）=3（x-1）²+3（a-1），0≤x≤2．
故当a≤0时，有f′（x）≤0，此时f（x）在[0，2]上单调递减；
当a≥1时，有f′（x）≥0，此时f（x）在[0，2]上单调递增；
当0＜a＜1时，由3（x-1）²+3（a-1）=0，得x₁=1-
1−a，x₂=1+
1−a．
所以，当x∈（0，x₁）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x∈（x₁，x₂）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（x₂，2）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．
（Ⅲ）当a≤0时，有f′（x）≤0，此时f（x）在[0，2]上单调递减，故
|f（x）|_max=max{|f（0）|，|f（2）|}=3-3a．
当0＜a＜[2/3]时，由3（x-1）²+3（a-1）=0，得x₁=1-
1−a，x₂=1+
1−a．
所以，当x∈（0，x₁）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x∈（x₁，x₂）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（x₂，2）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．
所以函数f（x）的极大值f（x₁）=1+2（1-a）
1−a，极小值f（x₂）=1-2（1-a）
1−a，
故f（x₁）+f（x₂）=2＞0，f（x₁）-f（x₂）＞0．
从而f（x₁）＞|f（x₂）|．
所以|f（x）|_max=max{f（0），|f（2）|，f（x₁）}．
当0＜a＜[2/3]时，f（x₁）＞f（0）＞|f（2）|．
故|f（x）|_max=f（x₁）=1+2（1-a）