设a，b为整数，并且一元二次方程x2+（2a+b+3）x+（a2+ab+6）=0有等根α，而一元二次方程2ax2+（4a

解题思路：根据△的意义得到（2a+b+3）²-4（a²+ab+6）=0，即（b+3）²=12（2-a）①；（4a-2b-2）²-8a（2a-2b-1）=0，即（b+1）²=2a②，①+②×6可消去a得关于b的方程7b²+18b-9=0，求出b的整数解为-3，易得到a=2，于是两个方程变形为x²+4x+4=0和4x²+12x+9=0，易得α=-2，β=-[3/2]，根据根与系数的关系得到以α，β为根一元二次方程是x²-（-2-[3/2]）x+（-2）×（-[3/2]）=0，然后化为整系数即可．

∵a，b为整数，并且一元二次方程x²+（2a+b+3）x+（a²+ab+6）=0有等根α，而一元二次方程2ax²+（4a-2b-2）x+（2a-2b-1）=0有等根β，
∴（2a+b+3）²-4（a²+ab+6）=0，即（b+3）²=12（2-a），①
（4a-2b-2）²-8a（2a-2b-1）=0，即（b+1）²=2a，②
①+②×6得，7b²+18b-9=0，（7b-3）（b+3）=0，
解得b₁=[3/7]，b₂=-3，
∵b为整数，
∴b=-3，
把b=-3代入②得，a=2，
所以两个方程分别是：x²+4x+4=0和4x²+12x+9=0，即（x+2）²=0，（2x+3）²=0，
∴α=-2，β=-[3/2]，
∴以α，β为根一元二次方程是x²-（-2-[3/2]）x+（-2）×（-[3/2]）=0，
系数化为整数为2x²+7x+6=0．
故答案为2x²+7x+6=0．

点评：
本题考点： 根与系数的关系；根的判别式．

考点点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根分别为x1，x2，则x1+x2=-[b/a]，x1•x2=[c/a]；以x1，x2为根的一元二次方程是x2-（x1+x2）x+x1•x2=0．也考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式以及一元二次方程的解．