（2009•黄冈模拟）已知抛物线C：y2=2px的准线方程x＝−14，C与直线ℓ1：y=x在第一象限相交于点P1，过P1

（2009•黄冈模拟）已知抛物线C：y2=2px的准线方程x＝−
1
4
，C与直线ℓ1：y=x在第一象限相交于点P1，过P1作C的切线m1，过P1作m1的垂线g1交x轴正半轴于点A1，过A1作ℓ1的平行线ℓ2交抛物线C于第一象限内的点P2，过P2作抛物线C1的切线m2，过P2作m2的垂线g2交x轴正半轴于点A2，…，依此类推，在x轴上形成一点列A1，A2，A3，…，An（n∈N*），设点An的坐标为（an，0）．
（Ⅰ）试探求an+1关于an的递推关系式；
（Ⅱ）求证：an≤3•2n−1−
3
2
；
（Ⅲ）求证：[3(2a1+3)•2+
4
(2a2+3)•6
+…+
n+2
(2an+3)•n•(n+1)
≥
1/3
−
1
3•2n•(n+1)]．
流浪到未知 1年前 已收到1个回答 举报
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苋草 幼苗

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解题思路：（I）根据准线方程求出p的值，从而求出抛物线方程，然后将直线与抛物线联立方程组，求出Pn+1的坐标，求出切线mn+1的斜率得到直线gn+1的斜率，从而求出直线gn+1的方程，令y=0，x=an+1得到an+1关于an的递推关系式；
（II）由已知易得P1（1，1），直线m1的斜率km1=[1/2]，则直线g1的方程为：y-1=-2（x-1）令y=0得a1=[3/2]．然后利用放缩法可证得结论；
（III）由（II）知：2an+3≤3•2n，然后利用裂项求和法即可证得结论．

（I）由题意知：-[p/2＝−
1
4， ∴p＝
1
2， ∴C1：y2=x．（1分）
由题意知ℓn+1：y=x-an联立y2=x得：y2-y-an=0，∵y＞0．
∴y=
1+
1+4an
2， ∴Pn+1(an+
1+
1+4an
2，
1+
1+4an
2)．（3分）
∴切线mn+1的斜率为kmn+1=
1

4an+1+1]，∴直线gn+1的斜率kgn+1＝−(
4an+1+1)，
∴直线gn+1的方程为y-
1+

点评：
本题考点： 数列与不等式的综合．

考点点评： 本题主要考查了数列与解析几何综合，以及数列与不等式的综合，是一道比较难的题目．

1年前

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