leonshirley 幼苗
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(1)在已知式中,当n=1时,a13=S12=a12
∵a1>0∴a1=1…(2分)
当n≥2时,a13+a23+a33+…+an3=Sn2①a13+a23+a33+…+an-13=Sn-12②
①-②得,an3=Sn2-Sn-12=(Sn-Sn-1)(Sn+Sn-1)
∵an>0∴an2=Sn+Sn-1=2Sn-an③
∵a1=1适合上式…(4分)
当n≥2时,an-12=2Sn-1-an-1④
③-④得:an2-an-12=2(Sn-Sn-1)-an+an-1=2an-an+an-1=an+an-1
∵an+an-1>0∴an-an-1=1
∴数列{an}是等差数列,首项为1,公差为1,可得an=n…(6分)
(2)假设存在整数λ,使得对任意 n∈N*,都有bn+1>bn.
∵an=n∴bn=3n+(−1)n−1λ•2an=3n+(−1)n−1λ•2n
∴bn+1-bn=[3n+1+(-1)nλ•2n+1]-[3n+(-1)n-1λ•2n]=2•3n-3λ(-1)n-1•2n>0
∴(−1)n−1•λ<(
3
2)n−1⑤…(8分)
当n=2k-1(k∈N*)时,⑤式即为λ<(
3
2)2k−2⑥
依题意,⑥式对k∈N*都成立,∴λ<1…(10分)
当n=2k(k∈N*)时,⑤式即为λ>−(
3
2)2k−1⑦
依题意,⑦式对k∈N*都成立,
∴λ>−
3
2…(12分)
∴−
3
2<λ<1,又λ≠0
∴存在整数λ=-1,使得对任意n∈N*,都有bn+1>bn…(14分)
点评:
本题考点: 数列递推式;数列的函数特性.
考点点评: 本题考查的是数列与不等式的综合题.在解答的过程当中充分体现了数列通项与前n项和的知识、分类讨论的知识以及恒成立问题的解答规律.值得同学们体会和反思.
1年前
你能帮帮他们吗