高二代数 数学归纳法 3题 80分

(1)数刑{an}满足Sn=2n-an,n属於N*,先计算前4项后,猜想an的运算式,并用数归纳法证明.
第一项 S1=2-a1=a1 的 a1=1 的 S1=1
第二项 S2=2*2-a2=S1+a2 的 a2=3/2 的S2=1+3/2
第三项 S3=2*3-a3=S2+a3 的 a3=7/4 的 S3=1+3/2+7/4
第四项 S4=2*4-a4=S3+a4 的 a4=15/8 的 S4=1+3/2+7/4+15/8
猜想an=(2^n-1)/(2^(n-1))=2-1/(2^(n-1))=2-0.5^(n-1)
当n=1时 a1=1 S1=2-a1=2-1=1=a1 成立
当n=k k>1属于N+时 ak=2-0.5^(k-1)
Sk=2k-后面的等比数列求和 =2k-(1-0.5^k)/0.5=2k-2+0.5^(k-1)
2k-ak=2k-2+0.5^(k-1)
即 sk=2k-ak 原式成立
当n=k+1时 s（k+1）=sk+a（k+1）=2k-2+0.5^(k-1)+2-0.5^(k+1)
=2k+0.5^(k)=2(k+1)-2+0.5^(k+1-1)
2（k+1）-a（k+1）=2(k+1)-2+0.5^(k+1-1)
则当n=k+1时原式成立
所以 当n属于N+时原式成立
(2)正数数列{an}中,Sn=0.5(an+1/an),(A)求a1,a2 a3 (B)猜想an的运算式并证明
s1=0.5（a1+1/a1）=a1 的 a1^2=1 的 a1=1 s1=1
s2=0.5（a2+1/a2）=a2+s1 的a2^2+2a2-1=0 的 a2=V2 -1 S2=V2
s3=0.5（a3+1/a3）=a3+s2 的 a3^2+2V2a3-1=0 的 a3=V3 -V2 S3=V3
可以看出 an=Vn - V（n-1）
证明 当n=1 时 a1=1 s1=0.5（1+1）=1=a1 得 原式成立
当n=k,k属于N+且k>1时 ak = Vk - V（k-1）
sk=a1+a2+a3+……+a（k-1）+ak
=1+V2 - V1 + V3-V2 + …… + V(k-1)-V(k-2) +V(k)-V(k-1)
=Vk
sk=0.5(ak+1/ak)=0.5(Vk -V(k-1)+1/(Vk -V(k-1)))
=0.5(k+k-1-2V(k(k-1))+1)/(Vk -V(k-1))=(k-V(k(k-1)))/((Vk -V(k-1))
=Vk
则当n=k时 原式成立
当n=k+1时
s（k+1）=sk+a（k+1）=Vk + V（k+1）-Vk=V（k+1）
s（k+1）=0.5(a（k+1）+1/a（k+1）)=V（k+1）
则有 当n=k+1 时 原式 也成立
所以当n属于N+时 原式成立
(3)设n属於N,(n≥2) (A)试求(1-1/4)(1-1/9)(1-1/16)...(1-1/n²)=( )
(B)并用数学归纳法证明之
通向为1-1/n² = (n+1)(n-1)/(n*n)
则(1-1/4)(1-1/9)(1-1/16)...(1-1/n²)
3*1 4*2 5*3 （n-1+1）（n-1-1） （n+1）（n-1）
= * * *……* *
2*2 3*3 4*4 （n-1）（n-1） n*n
=（n+1）/(2n)
当 n=2 时 原式=(1-1/4)=3/4=（2+1）/(2*2) 所以原式成立
当n=k k>2 且k属于N+时
3*1 4*2 5*3 （k-1+1）（k-1-1） （k+1）（k-1）
原式= * * *……* *
2*2 3*3 4*4 （k-1）（k-1） k*k
=（k+1）/(2k) 原式成立
当n=k+1时 原式= Sk*a（k+1）=（k+1）/(2k)*（k+1+1）（k+1-1）/((k+1)(k+1))
=(k+1+1)/(2(k+1))
即 原式在n=k+1时 成立
所以原式在n属于N+ 且n>=2时成立