从圆O外一点P向圆引两条切线PA、PB（A、B为切点）和割线PCD（与圆O交于C、D两点）,从A点作弦AE平行于CD,连

已知PA=4,PF=5（不是PE=5）
（本题关键：证明DF=CF!）连接AB
1,
由AE∥CD,得：∠EFD=∠AEB=∠PFB
由弦切角定理得：∠AEB=∠PAB=∠PBA
所以：∠PAB=∠PFB,
则,APBF四点公园（底边相同的两三角形顶角相等,两三角形的顶点共圆）
∠PFA=∠PBA（同弧所对的圆周角相等）
即：∠EFD =∠PFA
2,
由AE∥CD,得：ED=AC,∠EDF=∠ACF
则：EDF⊿≌⊿ACF（SAA）
则：DF=CF=m
3,切割线定理：PA²=PC·PD
4²=(5-m)(5+m)=5²-m²,解得：m=4
CD=2m=8

证明：如图，连AF，EF，OA，OB，OP，BF，OF，
延长FC交BE于G，
易知OA丄AP，OB丄BP，OF丄CP，
所以有∠AFP=∠AOP=∠POB=∠PFB，
又因CD∥BE，所以有∠PFB=∠FBE，∠EFD=∠FEB，
而FOG为BE的垂直平分线，故EF=FB，∠FEB=∠EBF，
所以∠AFP=∠EFD，
∴A，F，E三点共线...