如图,已知圆O的直径AB＝4,定直线l到圆心的距离为4,
如图,已知圆O的直径AB＝4,定直线l到圆心的距离为4,
且直线l⊥直线AB.点P是圆O上异于A、B的任意一点,直线PA、PB分别交l与M、N点,试建立适当的直角坐标系,
（1）若∠PAB＝30°,求以MN为直径的圆方程；
（2）当点P变化时,求证：以MN为直径的圆必过圆O内的一定点．
且直线l⊥直线AB.点P是圆O上异于A、B的任意一点,直线PA、PB分别交l与M、N点,试建立适当的直角坐标系,
（1）若∠PAB＝30°,求以MN为直径的圆方程；
（2）当点P变化时,求证：以MN为直径的圆必过圆O内的一定点．
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以直线L（即直线MN）为X轴向右为正向,以与直线L垂直且过A、B两点的直线为Y轴向上为正向建立直角坐标系,则圆O的圆心坐标为（0,4）,A点的坐标为（0,2）,B点的坐标为（0,6）,圆O的半径=2,所以圆O的方程为：X的方+（Y-4）的方=4.
（1）设P为圆O上的一点,若∠PAB＝30°,那么∠PNM=∠PAB=30度,所以直线NP的斜率=（180度-∠PNM）角的正切值=-30度角的正切值=-（根号下3）/3,因为直线NP过点B（0,6）,所以直线NP的方程为：Y-6=[-（根号下3）/3]*X,在此方程中,令Y=0,则X=6倍的根号下3,故N点的坐标为（6倍的根号下3,0）,同理可得M点的坐标为[-2*（根号下3）/3,0],故以MN为直径的圆的圆心坐标为（8倍的根号下3/3,0）,半径=10倍的根号下3/3,所以以MN为直径的圆的方程为：（X-8倍的根号下3/3）的方+Y的方=（10倍的根号下3/3）的方.
（2）当点P变化时,设以MN为直径的圆必过一定点T（U,V）,依题意直线MT一定经过点A（0,2）,设直线MT的斜率为K,则直线MT的方程为：Y-2=KX,在这个方程中,令Y=0,则X=-K/2,故M点的坐标为（-2/K,0）,同理可得N点的坐标为（6K,0）,因为点T（U,V）在以MN为直径的圆上,向量MT=（U+2/K,V）,向量NT=（U-6K,V）,所以向量MT*向量NT=（U+2/K）*（U-6K）+V的方=0,即：（-6*U）*K的方+（U的方+V的方-12）*K+2*U=0,所以：-6*U=0,U的方+V的方-12=0,2*U=0,解以上三式得：U=0,V=2倍的根号下3（V只取正值）.现在来证明T（U,V）必在圆O内,在圆O的方程X的方+（Y-4）的方=4中,以X=U=0代入得,Y=6,Y=2,因为2< V=2倍的根号下3< 6,所以点T（0,2倍的根号下3）必在圆O内.
（1）设P为圆O上的一点,若∠PAB＝30°,那么∠PNM=∠PAB=30度,所以直线NP的斜率=（180度-∠PNM）角的正切值=-30度角的正切值=-（根号下3）/3,因为直线NP过点B（0,6）,所以直线NP的方程为：Y-6=[-（根号下3）/3]*X,在此方程中,令Y=0,则X=6倍的根号下3,故N点的坐标为（6倍的根号下3,0）,同理可得M点的坐标为[-2*（根号下3）/3,0],故以MN为直径的圆的圆心坐标为（8倍的根号下3/3,0）,半径=10倍的根号下3/3,所以以MN为直径的圆的方程为：（X-8倍的根号下3/3）的方+Y的方=（10倍的根号下3/3）的方.
（2）当点P变化时,设以MN为直径的圆必过一定点T（U,V）,依题意直线MT一定经过点A（0,2）,设直线MT的斜率为K,则直线MT的方程为：Y-2=KX,在这个方程中,令Y=0,则X=-K/2,故M点的坐标为（-2/K,0）,同理可得N点的坐标为（6K,0）,因为点T（U,V）在以MN为直径的圆上,向量MT=（U+2/K,V）,向量NT=（U-6K,V）,所以向量MT*向量NT=（U+2/K）*（U-6K）+V的方=0,即：（-6*U）*K的方+（U的方+V的方-12）*K+2*U=0,所以：-6*U=0,U的方+V的方-12=0,2*U=0,解以上三式得：U=0,V=2倍的根号下3（V只取正值）.现在来证明T（U,V）必在圆O内,在圆O的方程X的方+（Y-4）的方=4中,以X=U=0代入得,Y=6,Y=2,因为2< V=2倍的根号下3< 6,所以点T（0,2倍的根号下3）必在圆O内.
1年前
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