已知f（x）=2x可以表示成一个奇函数g（x）与一个偶函数h（x）之和，若关于x的不等式ag（x）+h（2x）≥0对于x

已知f（x）=2^x可以表示成一个奇函数g（x）与一个偶函数h（x）之和，若关于x的不等式ag（x）+h（2x）≥0对于x∈[1，2]恒成立，则实数a的最小值是______．

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huhhq 幼苗

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解题思路：由题意可得g（x）+h（x）=2^x①，g（-x）+h（-x）=-g（x）+h（x）=2^-x②从而可得h（x）=[1/2(2x +2−x)，g（x）=

(2x −2−x)
而ag（x）+h（2x）≥0对于x∈[1，2]恒成立即a≥ −

h(2x)

g(x)]对于x∈[1，2]恒成立即a≥−

4x+4−x

2x−2−x

＝−(2x−2−x)+(2−x−2x)对于x∈[1，2]恒成立，只要求出函数−

h(2x)

g(x)

的最大值即可

f（x）=2^x可以表示成一个奇函数g（x）与一个偶函数h（x）之和
∴g（x）+h（x）=2^x①，g（-x）+h（-x）=-g（x）+h（x）=2^-x②
①②联立可得，h（x）=[1/2(2x +2−x)，g（x）=
1
2(2x −2−x)
ag（x）+h（2x）≥0对于x∈[1，2]恒成立
a≥ −
h(2x)
g(x)]对于x∈[1，2]恒成立
a≥−
4x+4−x
2x−2−x＝−(2x−2−x)+(2−x−2x)对于x∈[1，2]恒成立
t=2^x-2^-x，x∈[1，2]，t∈[
3
2，
15
4]则t+
2
t在t∈[
3
2，
15
4]单调递增，
t=[3/2]时，则t+
2
t=[17/6]
a≥−
17
6
故答案为：−
17
6

点评：
本题考点：函数恒成立问题；奇函数；偶函数．

考点点评：本题主要考查了奇偶函数的定义的应用，函数的恒成立的问题，常会转化为求函数的最值问题，体现了转化思想的应用．

1年前

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