A是n阶方阵，满足Am=E，其中m是正整数，E为n阶单位矩阵．今将A中n2个元素aij用其代数余子式Aij代替，得到的矩
A是n阶方阵，满足Am=E，其中m是正整数，E为n阶单位矩阵．今将A中n2个元素aij用其代数余子式Aij代替，得到的矩阵记为A0．证明
＝E．
| A | m 0 |
赞 weir_zhao 幼苗
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解题思路：在一个n阶行列式D中，把元素aij（i，j=1，2，…n）所在的行与列划去后，剩下的（n-1）2个元素按照原来的次序组成的一个n-1阶行列式Mij，称为元素aij的余子式，Mij带上符号（-1）（i+j）称为aij的代数余子式，记作Aij＝(−1)(i+j)Mij．
因为Am=E，所以|A|m=1，所以A可逆．
因为 A0＝
A11…A1n
⋮⋱⋮
Am1…Amn，所以：A0＝(A*)T＝[|A|A−1]T＝|A|(AT)−1
所以
Am0＝[|A|(AT)−1]m＝|A|m[(Am)T]−1＝|A|mE−1＝E．
点评：
本题考点： n阶行列式和n阶行列式的余子式；可逆矩阵的性质．
考点点评： 本题考查用矩阵的可逆性进行证明，是一道难题．
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