（2014•南京模拟）已知函数f（x）=sinx-xcosx的导函数为f′（x）．

解 （1）证明：f′（x）=xsinx，
当x∈（0，π）时，sinx＞0，所以f′（x）＞0恒成立，
所以f （x） 在（0，π）上单调递增．
（2）因为f′（x）＞[1/2]x²+λx，所以xsinx＞[1/2]x²+λx．
当0＜x＜π时，λ＜sinx-[1/2]x．
设φ（x）=sinx-[1/2]x，x∈（0，π），则φ′（x）=cosx-[1/2]．
当0＜x＜[π/3]时，φ′（x）＞0；当[π/3]＜x＜π时，φ′（x）＜0．
于是φ （x）在（0，[π/3]）上单调递增，在 （[π/3]，π）上单调递减，
所以当0＜x＜π时，φ（x）_max=g （[π/3]）=

3
2-[π/6]
因此λ＜

3
2-[π/6]．
（3）由题意知只要判断
F(x3)−F(x2)
x3−x2＜
F(x2)−F(x1)
x2−x1的大小．
首先证明：
F(x3)−F(x2)
x3−x2＜F′（x₂）．
由于x₂＜x₃，因此只要证：F（x₃）-F（x₂）＜（x₃-x₂） F′（x₂）．
设函数G（x）=F（x）-F（x₂）-（x-x₂） F′（x₂）（ x₂＜x＜π），
因为F′（x）=xcosx-sinx=-f（x），所以G′（x）=F′（x）-F′（x₂）=f （x₂）-f （x），
由（1）知f（x）在（0，π）上为增函数，所以G′（x）＜0．
则G（x）在（x₂，π）上单调递减，又x＞x₂，故G（x）＜G（x₂）=0．
而x₂＜x₃＜π，则G（x₃）＜0，即F（x₃）-F（x₂）-（x₃-x₂） F′（x₂）＜0，即F（x₃）-F（x₂）＜（x₃-x₂） F′（x₂）．
从而

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；导数的运算．

考点点评： 本题以三角函数为载体，考查导数的应用及分类讨论思想，适时结合形分析．其中第三问找一个中间量F′（x2），难度稍大．