设函数f（x）在（-∞，+∞）内连续，则关于F（x）=[1/x]∫x0f（t）dt（x≠0）的下列四个结论：

①∵f（-x）=-f（x）
∴F(−x)＝−
1
x
∫−x0f(t)dt
令u＝−t
.=−
1
x
∫x0f(−u)d(−u)＝−
1
x
∫x0f(u)du＝−F(x)
∴F（x）也是奇函数
故①正确．
②∵f（x+T）=f（x）
∴F(x+T)＝
1
x+T
∫x+T0f(t)dt
令u＝t−T
.
1
x+T
∫x0f(u+T)du=[1/x+T
∫x0f(u)du≠F(x)
∴F（x）不是以T为周期的周期函数．
故②错误．
③∵f（x）为（0，1）内的有界函数
∴∃M＞0，使得|f（x）|≤M，0＜x＜1
∴
−Mx≤∫x0f(t)dt≤Mx
∴-M≤F（x）≤M，0＜x＜1
即F（x）也是（0，1）内的有界函数
故③正确．
④假设f（x）=arctanx，则f（x）为单调递增函数
但F(x)＝
1
x
∫x0f(t)dt=
1
x
∫x0arctantdt＝arctanx−
ln(1+x2)
2x]（x≠0）
∴F′(x)＝
1
1+x2−
1
2ln(1+x2)−
1
1+x2=−
1
2ln(1+x2)＜0（x≠0）
∴F（x）为单调递减函数
故④错误．
因而①③正确
故选：B．

点评：
本题考点： 判断函数单调性，求单调区间．

考点点评： 此题是考查函数的基本性质的使用，以及定积分的换元积分法，但第④命题，直接证明会是很困难的，因而举反例来说明．