已知D为直线AB上的一点，∠COE是直角，OF平分∠AOE

解题思路：（1）由∠COF=34°，∠COE是直角，易求∠EOF，而OF平分∠AOE，可求∠AOE，进而可求∠BOE，若∠COF=m°，则∠BOE=2m°；进而可知∠BOE=2∠COF；
（3）由前面的结论，当∠COF=75°，得到∠BOE=2×75°=150°，并且∠EOF=∠AOF=90°-75°=15°，再根据2∠BOD与∠AOF的和等于∠BOE与∠BOD的差的三分之一，可得到关于∠BOE的方程，解方程得到∠BOD=15°，因此在∠BOE的内部存在一条射线OD，满足条件；
（2）由于∠COE是直角，于是∠EOF=90°-∠COF，而OF平分∠AOE，得出∠EOF=（180°-x）÷2，∠FOC=（180°-x）÷2+90°=（360°-x）÷2，由此可得出结论．

（1）∵∠COF=34°，∠COE是直角，
∴∠EOF=90°-34°=56°，
又∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE=2∠EOF=112°，
∴∠BOE=180°-112°=68°，
若∠COF=m°，则∠BOE=2m°；
故∠BOE=2∠COF；
故答案是68°；2m°；∠BOE=2∠COF；

（2）存在．理由如下：
如图2，∵∠COF=75°，
∴∠BOE=2×75°=150°，
∠EOF=∠AOF=90°-75°=15°，
而2∠BOD与∠AOF的和等于∠BOE与∠BOD的差的一半，
∴2∠BOD+15°=[1/3]（150°-∠BOD），
∴∠BOD=15°．

（3）∠BOE和∠COF的关系不成立．
设∠BOE=x，则∠EOF=（180°-x）÷2，∠FOC=（180°-x）÷2+90°=（360°-x）÷2，
∴∠BOE+2∠FOC=360°

点评：
本题考点： 角的计算；角平分线的定义．

考点点评： 本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等；也考查了角平分线的定义以及互余互补的含义．