1.推导 椭圆、双曲线焦点三角形的面积公式（S=b^2*tanα/2）

(一)1、椭圆面积：
设椭圆方程为:x^2/a^2+y^2/b^2=1,
F1、F2分别是椭圆的左右焦点,P是椭圆上任意一点,PF1和PF2夹角为θ,
在△PF1F2中,根据余弦定理,
F1F2^2=PF1^2+PF2^2-2|PF1|*|PF2|cosθ
|PF1|+|PF2|=2a,
|F1F2}=2c,
4c^2=(PF1+PF2)^2-2|PF1||PF2|-2|PF1|*|PF2|cosθ
4c^2=4a^2-2|PF1||PF2|(1+cosθ),
|PF1||PF2|=2(a^2-c^2)/(1+cosθ)
=2b^2/(1+cosθ),
S△PF1F2=(1/2)|PF1||PF2|sinθ
=b^2sinθ/(1+cosθ)
=b^2*(2sinθ/2cosθ/2)/[2(cosθ/2)^2]
=b^2tan(θ/2).
∴S△PF1F2=b^2tan(θ/2).
2、双曲线面积：
设双曲线方程为:x^2/a^2-y^2/b^2=1,
F1、F2分别是双曲线的左右焦点,P是双曲线上任意一点,PF1和PF2夹角为θ,
在△PF1F2中,根据余弦定理,
F1F2^2=PF1^2+PF2^2-2|PF1|*|PF2|cosθ,
||PF1|-|PF2||=2a,
|F1F2}=2c,
4c^2=(PF1-PF2)^2+2|PF1|*|PF2|-2|PF1|*|PF2|cosθ,
4c^2=4a^2+2|PF1|*|PF2|(1-cosθ)
|PF1|*|PF2|(1-cosθ)=2(c^2-a^2)=2b^2,
|PF1|*|PF2|=2b^2/(1-cosθ),
S△PF1F2=(1/2)|PF1||PF2|sinθ
=b^2sinθ/(1-cosθ)
=b^2*(2sinθ/2cosθ/2)/[2(sinθ/2)^2]
=b^2*cos(θ/2)/[sin(θ/2)]
=b^2cot(θ/2).
(二)
过抛物线y^2=2px(p>0)焦点F(p/2,0)作倾斜角为θ的直线L,L与抛物线相交于A（x1,y1),B(x2,y2),有
x1*x2 = p^2/4 ,y1*y2 = —P^2,要在直线过焦点时才能成立
设L为ky=x-p/2
联立直线L与抛物线方程,消去x得 y^2-2pky-p^2=0
由韦达定理y1*y2=-p^2
x1*x2 =(y1*y2)^2/4p^2=p^2/4