(本题12分) 如图,正三棱柱ABC－A 1 B 1 C 1 的底面边长是2, 侧棱长是, D为AC的中点.(1)求证:

(2) 60° (3) ∠AOH=arcsin

法1: 如图所示(1)设A ₁ B与AB ₁ 交于O点, 在△AB ₁ C中, OD为其中位线,

∴OD∥B ₁ C, ODÌ平面A ₁ BD, B ₁ CÌ平面A ₁ BD, ∴B ₁ C∥平面A ₁ BD
(2) ∵D是AC的中点, △ABC为正三角形, ∴BD⊥AC, 三棱柱ABC－A ₁ B ₁ C ₁ 为正三棱柱, ∴ A ₁ A⊥BD, ∴BD⊥平面A ₁ AD, ∴BD⊥A ₁ D, BD⊥AD, ∴∠A ₁ DA为二面角A ₁ －BD－A的平面角, A ₁ A=, AD="1," tan∠A ₁ DA= = , ∴∠A ₁ DA=" 60°." ∴二面角A ₁ －BD－A的平面角为60°.
(3)∵ BD⊥平面A ₁ AD, BDÌ平面A ₁ BD, ∴平面A ₁ AD⊥平面A ₁ BD, 过A作AH⊥A ₁ D于H点,∴AH⊥平面A ₁ BD, ∴∠AOH为直线AB ₁ 与平面A ₁ BD所成角, 在Rt△A ₁ AD中AH== = , AO= sin∠AOH= = = , ∠AOH=arcsin.
法2: (空间向量法)建坐标系如图, 则
A(1,0,0), D(0,0,0), B(0,, 0), A ₁ (1, 0, ) B ₁ (0, , ) , C(－1,0,0)
(1) ="(1," 0, ), =(0,, 0), ="(1," , ) , ∴ = + , ∴ 、 、 共面, 又∵CB ₁ Ì平面A ₁ BD, ∴B ₁ C∥平面A ₁ BD
(2) 平面ABD的法向量设为 ="(0,0,1)," 平面A ₁ BD的法向量为 =(x,y,z),
∵ ,
∴ , y="0," 令z="1," 则x=－, ∴ =(－,0,1) ,
=
∴ 二面角A ₁ －BD－A的大小的60°.
(3) 直线AB ₁ 与平面A ₁ BD所成角θ, 则 =(－1, , ),平面A ₁ BD的法向量为 =(－,0,1) , sinθ= = = , ∴ θ=arcsin.