如图，已知△ABC与△ACD都是边长为2的等边三角形，如图有一个60°角的三角板绕着点A旋转分别交BC、CD于点P、Q两
| 如图，已知△ABC与△ACD都是边长为2的等边三角形，如图有一个60°角的三角板绕着点A旋转分别交BC、CD于点P、Q两点（不与端点重合）． （1）试说明：△PAQ是等边三角形； （2）求四边形APCQ的面积； （3）填空：当BP=______时，S △APQ 最小．  |
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（1）证明：∵△ABC与△ACD都是等边三角形，
∴AB=AC，∠B=∠ACD=60°，
∴∠BAP+∠CAP=60°，
又∵∠CAQ+∠CAP=60°，
∴∠BAP=∠CAQ，
∵在△ABP和△ACQ中，
∠BAP=∠CAQ
AB=AC
∠B=∠ACD ，
∴△ABP≌△ACQ（ASA），
∴AP=AQ，
又∵∠PAQ=60°，
∴△PAQ是等边三角形；
（2）∵△ABP≌△ACQ，
∴△ABP的面积=△ACQ的面积，
∴四边形APCQ的面积=△APC的面积+△ACQ的面积，
=△APC的面积+△ABP的面积，
=△ABC的面积，
=
1
2 ×2×（2×
3
2 ）=
3 ；
（3）AP⊥BC时，AP最短，S △APQ 最小，
此时，BP=
1
2 BC=
1
2 ×2=1．
∴AB=AC，∠B=∠ACD=60°，
∴∠BAP+∠CAP=60°，
又∵∠CAQ+∠CAP=60°，
∴∠BAP=∠CAQ，
∵在△ABP和△ACQ中，
∠BAP=∠CAQ
AB=AC
∠B=∠ACD ，
∴△ABP≌△ACQ（ASA），
∴AP=AQ，
又∵∠PAQ=60°，
∴△PAQ是等边三角形；
（2）∵△ABP≌△ACQ，
∴△ABP的面积=△ACQ的面积，
∴四边形APCQ的面积=△APC的面积+△ACQ的面积，
=△APC的面积+△ABP的面积，
=△ABC的面积，
=
1
2 ×2×（2×
3
2 ）=
3 ；
（3）AP⊥BC时，AP最短，S △APQ 最小，
此时，BP=
1
2 BC=
1
2 ×2=1．
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