在物理自由落体试题解答时注释有一句话：根据连续相等时间内的位移之比为：1:3:5:…(2n:1)可知……

首先纠正一下,括号内应该是2n-1,而不是2n:
由自由落体的公式：h=1/2gt^2,即位移和时间的平方成正比.
那么,从自由落体运动的开始算起,任意连续相等的时间间隔内,物体发生的位移之比是1:3:5:…(2n-1).
举个例子,取时间间隔为1s,g近似认为是10m/s^2.那么,第一秒内,物体的位移是5m,第二秒内,物体的位移是（20m-5m=15m）,第三秒内,物体的位移是（45m-20m=25m）,第n秒内,物体的位移是[5n^2m-5(n-1)^2m=(10n-5)m],由此可见,他们的比例为1:3:5:…(2n-1)

自由落体是匀加速直线运动，它的初速度为0。
所以在第一个时间间隔dt内，位移为 1/2*a*dt^2
第二个时间间隔dt内，位移为 1/2*(a*dt+2*a*dt)*dt = 1/2*3a*dt^2 （1/2（v0+vt)dt）
以此类推， 连续相等时间内的位移之比为：1:3:5:7:..:(2n+1) n=0,1,2,..

假设时间是t
则第一个t内位移为h1=1/2gt^2
第二个t内位移为h2=1/2g(2t)^2-1/2gt^2=3/2gt^2
h1/h2=1:3
注意是连续的且是相等的
剩下的依次类推
将t代为1更好理解