已知函数f(x)＝lg(a x －b x )(a>1>b>0)．
| 已知函数f(x)＝lg(a x －b x )(a>1>b>0)． (1)求函数y＝f(x)的定义域； (2)在函数y＝f(x)的图象上是否存在不同的两点，使过此两点的直线平行于x轴； (3)当a、b满足什么关系时，f(x)在区间  上恒取正值． |
赞 浅浅蘅 幼苗
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（1）(0，＋∞)（2）不存在（3）a≥b＋1
(1)由a x －b x >0，得
x >1，因为a>1>b>0，所以
>1，所以x>0，即函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
(2)设x 1 >x 2 >0，因为a>1>b>0，所以ax 1 >ax 2 ，bx 1 2 ，则－bx 1 >－bx 2 ，所以ax 1 －bx 1 >ax 2 －bx 2 >0，于是lg(ax 1 －bx 1 )>lg(ax 2 －bx 2 )，即f(x 1 )>f(x 2 )，因此函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数．假设函数y＝f(x)的图象上存在不同的两点A(x 1 ，y 1 )、B(x 2 ，y 2 )，使得直线AB平行于x轴，即x 1 ≠x 2 ，y 1 ＝y 2 ，这与f(x)是增函数矛盾．故函数y＝f(x)的图象上不存在不同的两点，使过此两点的直线平行于x轴．
(3)由(2)知，f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，所以当x∈(1，＋∞)时，f(x)>f(1)，故只需f(1)≥0，即lg(a－b)≥0，即a－b≥1，所以当a≥b＋1时，f(x)在区间(1，＋∞)上恒取正值．
(1)由a x －b x >0，得
x >1，因为a>1>b>0，所以
>1，所以x>0，即函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．(2)设x 1 >x 2 >0，因为a>1>b>0，所以ax 1 >ax 2 ，bx 1
(3)由(2)知，f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，所以当x∈(1，＋∞)时，f(x)>f(1)，故只需f(1)≥0，即lg(a－b)≥0，即a－b≥1，所以当a≥b＋1时，f(x)在区间(1，＋∞)上恒取正值．
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