已知f（x）=log a （a x -1）（a＞0，且a≠1）
| 已知f（x）=log a （a x -1）（a＞0，且a≠1） （1）求其定义域； （2）解方程f（2x）=f -1 （x）． |
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（1）由已知条件，知a x -1＞0，即a x ＞1．
故当a＞1时，x＞0，当0＜a＜1时，x＜0．
即当a＞1时，函数的定义域为（0，+∞），
当0＜a＜1时，函数的定义域为（-∞，0）．
（2）令y=loh a （a x -1），同a y =a x -1，
x=log a （a y +1），即f -1 （x）=log a （a x +1）．
∵f（2x）=f -1 （x），∴log a （a 2x -1）=log a （a x +1），
即a 2x -1=a x +1．
∴（a x ） 2 -a x -2=0．
∴a x =2，或a x =-1（舍去）．
∴x=log a 2．
故当a＞1时，x＞0，当0＜a＜1时，x＜0．
即当a＞1时，函数的定义域为（0，+∞），
当0＜a＜1时，函数的定义域为（-∞，0）．
（2）令y=loh a （a x -1），同a y =a x -1，
x=log a （a y +1），即f -1 （x）=log a （a x +1）．
∵f（2x）=f -1 （x），∴log a （a 2x -1）=log a （a x +1），
即a 2x -1=a x +1．
∴（a x ） 2 -a x -2=0．
∴a x =2，或a x =-1（舍去）．
∴x=log a 2．
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