已知A（-2，0），B（2，0），动点P满足∠APB=θ，且|PA|•|PB|cos2θ2＝4．
已知A（-2，0），B（2，0），动点P满足∠APB=θ，且|PA|•|PB|cos2
＝4．
（1）求动点P的轨迹C；
（2）设过M（0，1）的直线l（斜率存在）交P点轨迹C于P、Q两点，B1、B2是轨迹C与y轴的两个交点，直线B1P与B2Q交于点S，试问：当l转动时，点S是否在一条定直线上？若是，请写出这直线的方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由．
| θ |
| 2 |
（1）求动点P的轨迹C；
（2）设过M（0，1）的直线l（斜率存在）交P点轨迹C于P、Q两点，B1、B2是轨迹C与y轴的两个交点，直线B1P与B2Q交于点S，试问：当l转动时，点S是否在一条定直线上？若是，请写出这直线的方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由．
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解题思路：（1）先根据余弦定理求出|PA|+|PB|的值，验证轨迹C为椭圆方程，从而得到答案．
（2）先假设出直线l的方程，然后与（1）所求的椭圆方程联立消去y求出两根之和与两根之积，再表示出B1P、B2Q的关系式二者联立消去x得到y的关系式，最后将求出的两根之和与两根之积代入即可得到答案．
（2）先假设出直线l的方程，然后与（1）所求的椭圆方程联立消去y求出两根之和与两根之积，再表示出B1P、B2Q的关系式二者联立消去x得到y的关系式，最后将求出的两根之和与两根之积代入即可得到答案．
（1）由余弦定理得|AB|2=|PA|2+|PB|2-2|PA||PB|cosθ
即16＝|PA|2+|PB|2−2|PA||PB|(2cos2
θ
2−1)＝(|PA|+|PB|)2−16
∴|PA|+|PB|＝4
2＞|AB|
∴动点P的轨迹C是以A、B为焦点，长轴长为4
2的椭圆，方程为
x2
8+
y2
4＝1
（2）设l为y=kx+1，则与
x2
8+
y2
4＝1联立得（1+2k2）x2+4kx-6=0
记P（x1，y1），Q（x2，y2），
则x1+x2＝
−8k
1+2k2x1x2＝
−6
1+2k2B1P：y+2＝
y1+2
x1xB2Q：y−2＝
y2−2
x2x
联立得
x1
y1+2(y+2)＝
x2
y2−2(y−2)
即y＝2
x2(y1+2)+x1(y2−2)
x2(y1
点评：
本题考点： 余弦定理的应用；轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题．
考点点评： 本题主要考查椭圆方程的求法和直线与圆锥曲线的综合问题．一般是直线与圆锥曲线的方程联立消去y，得到两根之和与两根之积的关系式，再结合题中所给条件解题．
1年前
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