（2012•蓝山县模拟）已知函数f（x）=−x3+x2+bx+c，(x＜1)alnx，(x≥1)和图象过坐标原点O，且在

（1）当x＜1时，f（x）=-x³+x²+bx+c，∴f′（x）=-3x²+2x+b
∵函数在点（-1，f（-1））处的切线的斜率是-5，∴f′（-1）=-5
∴-3-2+b=-5，∴b=0
∵f（0）=0，∴c=0
∴b=0，c=0
（2）当x＜1时，f（x）=-x³+x²，∴f′（x）=-3x²+2x
令f′（x）=0有-3x²+2x=0，∴x=0或x=
2
3
令f′（x）＞0，可得0＜x＜
2
3；令f′（x）＜0，∵-1≤x≤1，∴-1≤x＜0或
2
3＜x≤1
∴函数在-1，0，
2
3，1出取得最值
∵f（-1）=2，f（0）=0，f（
2
3）=
4
27，f（1）=0
∴函数f（x）在区间[-1，1]上的最小值为0；
（3）设P（x₁，f（x₁）），因为PQ中点在y轴上，所以Q（-x₁，f（-x₁）），
∵OP⊥OQ，∴
f(x1)
x1•
f(−x1)
−x1=-1
①当x₁=1时，f（x₁）=0；当x₁=-1时，f（-x₁）=0，∴
f(x1)
x1•
f(−x1)
−x1≠-1；
②当-1＜x₁＜1时，f（x₁）=−x13+x12，f（-x₁）=x13+x12，代入
f(x1)
x1•
f(−x1)
−x1=-1，可得(−x13+x12)(x13+x12)＝x12，∴x14−x13+1＝0，无解；
③当x₁＞1时，f（x₁）=alnx₁，f（-x₁）=x13+x12，代入
f(x1)
x1•
f(−x1)
−x1=-1，可得
1
a＝(x1+1)lnx1；
设g（x₁）=（x₁+1）lnx₁（x₁＞1），∴g′（x₁）=lnx₁+
x1+1
x1＞0，∴g（x₁）是增函数
∵g（1）=0，∴g（x₁）值域是（0，+∞）
∴对任意给定的正实数a，
1
a＝(x1+1)lnx1恒有解，满足条件
④由P，Q横坐标的对称性可得，当x₁＜-1时，f（x₁）=−x13+x12，f（-x₁）=aln（-x₁），
代入
f(x1)
x1•
f(−x1)
−x1=-1，可得
1
a＝(−x1+1)ln(−x1)
设h（x₁）=（-x₁+1）ln（-x₁）（x₁＜-1），∴h′（x₁）=-ln（-x₁）-
x1−1
x1＜0，∴h（x₁）是减函数
∵h（-1）=0，∴h（x₁）值域是（0，+∞）
∴对任意给定的正实数a，
1
a＝(−x1+1)ln(−x1)恒有解，满足条件
综上所述，满足条件的点P的横坐标的取值范围为（-∞，-1）∪（1，+∞）．