已知函数f（x）=2ax+b在[1，2]上的最小值为1，最大值为2，求f（x）的解析式．

解题思路：当a＞0时，可证f（x）=2^ax+b为[1，2]的单调增函数，x=1，函数有最小值，x=2，函数有最大值；
当a＜0时，可证f（x）=2^ax+b为[1，2]的单调减函数，x=1，函数有最大值，x=2，函数有最小值．

当a＞0时，可证f（x）=2^ax+b为[1，2]的单调增函数（2分）
∴x=1，函数f（x）=2^ax+b取最小值为1，有2^a+b=1（3分）
x=2，函数f（x）=2^ax+b取最大值为2，有2=2^2a+b（4分）
可得a=1，b=-1 （6分）
∴f（x）=2^x-1（7分）
当a＜0时，可证f（x）=2^ax+b为[1，2]的单调减函数（9分）
∴x=1，函数f（x）=2^ax+b取最大值为2，有∴2^a+b=2（10分）
x=2，函数f（x）=2^ax+b取最小值为1，有1=2^2a+b（11分）
可得a=-1，b=2 （13分）
∴f（x）=2^-x+2（14分）
∴f（x）的解析式为f（x）=2^x-1或 f（x）=2^-x+2（16分）

点评：
本题考点： 指数函数的图像与性质；指数函数的定义、解析式、定义域和值域．

考点点评： 本题考查函数的单调性，以及利用函数的单调性求函数的最值问题，用待定系数法求函数解析式．

f ( x ) = 2 ^ ( a x + b ) 在 【1 ，2】上是增函数，
所以 f（1）= 1 ，f（2）= 2 ；
即 2 ^ ( a + b ) = 1 ， 2 ^ ( 2a + b ) = 2 ；
即 a + b = 0 , 2a + b = 1 ；
所以 a = 1 ，b = - 1 ；
f（x）= 2 ^ ( x - 1 )

f(1)=2^(a+b),f(2)=2^(2a+b),
若f(1)=1,f(2)=2,则a+b=0,2a+b=1.a=1,b=-1.
若f(1)=2,f(2)=1,则a+b=1,2a+b=0,a=-1,b=2.

f(x)=2^(ax+b)在[1,2]上的最小值为1,最大值为2
即
f(1)=1=2^(a+b), a+b=0 【1】
f(2)=2=2^(2a+b), 2a+b=1 【2】
【2】-【1】得a=1,代入【1】得b=-1
f(x)的解析式
f(x)=2^(x-1)

函数f(x)=2^(ax+b)在[1,2]上为增函数
最小值为1：F(1)=2^(a+b)=1 a+b=0
最大值为2：f(2)=2^(2a+b)=2 2a+b=1
a=1
b=-1
f(x)=2^（x -1）

f(x) = 2^(ax+b)
case 1: a>= 0
最小值为1,最大值为2
f(1) = 2^(a+b) = 1, => a+b = 0
f(2) = 2^(2a+b) =2, => 2a+b = 1
a = 1
b = -1
case 2: a< 0
f(1) = 2, f(2) =1
=> 2a+b = 0 and a+b = 1
=> a = -1
b = 2

f(x) = 2^(-x+2) or f(x) = 2^(x-1)