如图，已知一四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，且侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2，E是侧棱PC上的动点

解题思路：（1）四棱锥P-ABCD的体积V=

1

3

•S正方形ABCD•PC，由此能求出结果．
（2）连结AC，由已知条件条件出BD⊥AC，BD⊥PC，从而得到BD⊥平面PAC，不论点E在何位置，都有AE⊂平面PAC，由此能证明BD⊥AE．
（3）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P-BD-C的正切值．

（1）∵四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，
且侧棱PC⊥底面ABCD，PC=2，
∴四棱锥P-ABCD的体积：
V=[1/3•S正方形ABCD•PC
=
1
3×1×2
=
2
3]．
（2）证明：连结AC，∵ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，
∵PC⊥底面ABCD，且BD⊂平面ABCD，
∴BD⊥PC，
∵不论点E在何位置，都有AE⊂平面PAC，
∴BD⊥AE．
（3）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CP为z轴，
建立空间直角坐标系，
由题意知P（0，0，2），B（0，1，0），D（1，0，0），
∴

PB＝(0，1，−2)，

PD＝(1，0，−2)，
设平面PBD的法向量

n＝(x，y，z)，
则



n•

PB＝y−2z＝0


n•

PD＝x−2z＝0，取x=2，得

n＝(2，2，1)，
由题意知

m＝(0，0，1)，
设二面角P-BD-C的平面角为θ，
则cosθ=cos＜

n，

m＞=
1

4+4+1=[1/3]，
∴tanθ=2
2．
∴二面角P-BD-C的正切值为2
2．

点评：
本题考点： 与二面角有关的立体几何综合题；棱柱、棱锥、棱台的体积．

考点点评： 本题考查四棱锥的体积的求法，考查异面直线垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．