如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D是BC上的任意一点，探究：BD2+CD2与AD2的关系，并证明

解题思路：探究得到的关系为：BD²+CD²=2AD²，作AE⊥BC于E，由于∠BAC=90°，AB=AC，所以BE=CE，要证明BD²+CD²=2AD²，只需找出BD、CD、AD三者之间的关系即可，由勾股定理可得出AD²=AE²+ED²，AE²=AB²-BE²=AC²-CE²，ED=BE-BD=CD-CE，代入求出三者之间的关系即可得证．

探究得到的关系为：BD²+CD²=2AD²
证明：作AE⊥BC于E，如上图所示：
由题意得：ED=BE-BD=CD-CE，
在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴BE=CE=[1/2]BC，
由勾股定理可得：
AB²+AC²=BC²，
∵AE²=AB²-BE²=AC²-CE²，AD²=AE²+ED²，
∴2AD²=2AE²+2ED²=AB²-BE²+（BE-BD）²+AC²-CE²+（CD-CE）²
=AB²+AC²+BD²+CD²-2BD×BE-2CD×CE，
=AB²+AC²+BD²+CD²-2×[1/2]BC×BC，
=BD²+CD²，
即：BD²+CD²=2AD²．

点评：
本题考点： 勾股定理；全等三角形的判定与性质．

考点点评： 本题主要考查勾股定理，关键在于找出直角三角形利用勾股定理求证，本题主要运用“等量代换”求出BD、CD、AD三者之间的关系．

直接证明就可以，如果飞得先“探究”一下的话就是D取为BC中点时，有AD=BD=CD,所以 BD^2+CD^2=2AD^2.
证明：过A作BC边垂线，垂足为E. 因为三角形ABC是等腰直角三角形，所以AE=BE=CE. 一方面，AD^2=DE^2+AE^2； 另一方面，BD^2+CD^2=(BE-DE)^2+(CE+DE)^2=(CE-DE)^2+(CE+DE)^2=2(CE^2+DE^2)...