已知函数f（x）=ax2+bx+14与直线y=x相切于点A（1，1），若对任意x∈[1，9]，不等式f（x-t）≤x恒成

解题思路：求出函数的导数，求出切线的斜率，由切线方程得到a，b的方程，即可得到f（x）的表达式，则不等式f（x-t）≤x即为[1/4]（x-t+1）²≤x，由于任意的x∈[1，9]，则有|x-t+1|≤2

x

，即有-2

x

-x≤1-t≤2

x

-x，
分别求出两边的最值，令1-t不大于最小值且不小于最大值，解出即可得到．

函数f（x）=ax²+bx+[1/4]的导数为f′（x）=2ax+b，
由于函数f（x）=ax²+bx+[1/4]与直线y=x相切于点A（1，1），
则2a+b=1，且a+b+[1/4]=1，解得a=[1/4]，b=[1/2]，
即有f（x）=[1/4]x²+[1/2]x+[1/4]即为f（x）=[1/4]（x+1）²，
不等式f（x-t）≤x即为[1/4]（x-t+1）²≤x，
由于任意的x∈[1，9]，则有|x-t+1|≤2
x，
即有-2
x-x≤1-t≤2
x-x，
令
x=m∈[1，3]，则2
x-x=2m-m²=-（m-1）²+1∈[-3，1]，
-2
x-x=-2m-m²=-（m+1）²+1∈[-15，-3]，
则有-3≤1-t≤-3，即有1-t=-3，即t=4．
故答案为：{4}

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题考查导数的运用：求切线方程，考查不等式的恒成立问题转化为求函数最值问题，注意运用参数分离，属于中档题．