Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为高线，点E在边BC上，且BE=2EC，连接AE，EF⊥AE，与边AB相交于点F．

（1）证明：在R_t△ABC中，tan∠BAC=1=tan45°，
∴∠BAC=45°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=45°．
∴△ABC为等腰直角三角形，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD=45°，
过E点作EK⊥BC，EK与CD相交于点K，
∴∠GKE=45°=∠B
∵∠GEK+∠KEF=90°=∠KEF+∠BEF，
∴∠GEK=∠FEB，
∴△GEK∽△FEB，
∴[EG/EF=
EK
BE=
EC
BE=
EC
2EC=
1
2]，
∴EF=2EG；
（2）根据（1）的证明，同理可证：
当tan∠BAC=2时，EF=EG；
（3）在R_t△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，
则tan∠BAC=tan∠CAD=tan∠BCD=2，
设AC=3k，则BC=6k，EC=
1
3BC=2k，
过点E作EM⊥BC，EM与CD的延长线相交于点M，tan∠ECM=2，
∴EM=4k．
在△AGC与△EGM中，
∵AC∥EM，
∴∠ACG=∠M．∠AGC=∠EGM，
∴△AGC∽△EGM
∴[AG/GE=
AC
EM=
3k
4k=
3
4]
过点G作GN∥EH，与AH相交于点N，
∴△ANG∽△AHE，
∴[AN/AH=
AG
AE]=
3k
3k+4k=
3
7=
AN
3
5，
∴AN=
9
7
5，∴NH=AH-AM=
12
7
5
∠GEM+∠MEF=90°=∠MEF+∠FEB，
∴∠GEM=∠FEB，
∠M=∠B，
∴△GEM∽△FEB，
∴[EG/EF=
EM
BE=
2EC
2EC=1，
∴EF=EG．
同理可证EF′=EG′．∠FEF'=∠GEG'，
∴△GEG'≌△FEF'，
∴FF'=GG'，
∴
GG′
G′C=
FF′
G′C=
2
7]．
HG′∥NG，同理可证[CH/CN=
G′C
CG]，
∴[CH/CH+NH=
7
7+2=
7
9]，
∴CH=6
5，
∴AC=CH+AH=9
5，
∴EC=
2
3AC=6
5=CH
∴△HCE是等腰直角三角形，∠CHE=45°，
在△HG'C中，过点G'作G'W⊥CH，垂足是W，


设G'W=x，则HW=x，tan∠G′CW=tan∠DCA=
1
2，
∴CW=2x，CW+HW=CH，
∴2x+x=3x=6
5，
∴x=2
5，
∴G′H=
2x=2
10．

点评：
本题考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质；锐角三角函数的定义．

考点点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质；解决本题的关键是根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质得到它们的比值进行计算即可．

1年前

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