高中双曲线题.过双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的右顶点A作斜率为-1的直线,该直线与双曲线的

过双曲线x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)的右顶点A作斜率为-1的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B,C.若向量︱AB︱＝(1/2)︱BC︱,则双曲线的离心率是多少?
双曲线的渐近线方程为y=±(b/a)x,双曲线的右顶点A(a,0)；过A的直线方程为y=-x+a；
令(b/a)x=-x+a,得x=a²/(a+b),y=ab/(a+b),即B(a²/(a+b),ab/(a+b))；
令-(b/a)x=-x+a,得x=a²/(a-b),y=-ab/(a-b),即C(a²/(a-b),-ab/(a-b))；
向量AB=(a²/(a+b)-a,ab/(a+b))=(-ab/(a+b),ab/(a+b))
向量BC=(a²/(a-b)-a²/(a+b),-ab/(a-b)-ab/(a+b))=(2a²b/(a²-b²),-2a²b/(a²-b²))；
︱AB︱=√[a²b²/(a+b)²+a²b²/(a+b)²]=(√2)ab/(a+b)
︱BC︱=√[4a⁴b²/(a²-b²)²+4a⁴b²/(a²-b²)²]=2a²b/(a²-b²)
故有(√2)ab/(a+b)=(1/2)[2a²b/(a²-b²)]
化简得(√2)(a-b)=a,即有a=(√2)b/(√2-1)=(√2)(√2+1)b=(2+√2)b,
即有a²=(6+4√2)b²=(6+4√2)(c²-a²),用a²除两边得1=(6+4√2)(e²-1)
∴e²=1/(6+4√2)+1=(6-4√2)/4+1=(10-4√2)/4=(5-2√2)/2；即e=√[(5-2√2)/2]