（2013•天津一模）已知函数f（x）=ax3+bx2在点（2，f（2））处的切线方程为6x+3y-10=0，且对任意的

（Ⅰ）f'（x）=3ax²+2bx，f'（2）=-2，∴12a+4b=-2①
将x=2代入切线方程得y＝−
2
3，∴8a+4b＝−
2
3②
①②联立，解得a＝−
1
3，b＝
1
2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)＝−
1
3x3+
1
2x2，f'（x）=-x²+x，
∴-x²+x≤kln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立；
即x²-x+kln（x+1）≥0在x∈[0，+∞）恒成立；
设g（x）=x²-x+kln（x+1），g（0）=0，
∴只需证对于任意的x∈[0，+∞）有g（x）≥g（0），
g′(x)＝2x−1+
k
x+1＝
2x2+x+k−1
x+1，x∈[0，+∞)，
设h（x）=2x²+x+k-1，
（1）当△=1-8（k-1）≤0，即k≥
9
8时，h（x）≥0，
∴g'（x）≥0，g（x）在[0，+∞）单调递增，∴g（x）≥g（0）；
（2）当△=1-8（k-1）＞0，即k＜
9
8时，设x1，
x 2是方程2x²+x+k-1=0的两根且x₁＜x₂
由x1+
x 2＝−
1
2，可知x₁＜0，
分析题意可知当
x 2≤0时对任意x∈[0，+∞）有g（x）≥g（0）；
∴k-1≥0，k≥1，∴1≤k＜
9
8
综上分析，实数k的最小值为1．
（Ⅲ）令k=1，有-x²+x≤ln（x+1），即x≤x²+ln（x+1）在x∈[0，+∞）恒成立
令x＝
1
n，得[1/n≤
1
n2+ln(
1
n+1)＝
1
n2+ln(n+1)−lnn
∴
n

i＝1
1
i≤1+
1
22+
1
32+…+
1
n2+(ln2−ln1)+(ln3−ln2)+…+[ln(n+1)−lnn]

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；不等式的证明．

考点点评： 本题综合考查了导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、极值最值、利用已经证明的结论证明数列不等式等基础知识与基本技能，考查了分类讨论思想方法、推理能力和计算能力．

1年前

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