线性代数题设A为n阶方阵,α1.α2α3.……αr为n维列向量证明:若α1.α2.……αr线性相关,则Aα1,Aα2.…

线性代数题
设A为n阶方阵,α1.α2α3.……αr为n维列向量
证明:若α1.α2.……αr线性相关,则Aα1,Aα2.……Aαr也线性相关
若α1.α2.……αr线性无关,Aα1.Aα2……Aαr是否也线性无关?为什么?
helenlinzi 1年前 已收到4个回答 举报
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厌倦沉重所以爱信 幼苗

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若α1.α2.……αr线性相关
则存在一组不全为零的数 k1,...,kr 使得
k1α1+...+krαr = 0
等式两边左乘A得
k1Aα1+...+krAαr = 0
所以 Aα1,Aα2.……Aαr 线性相关.
若α1.α2.……αr线性无关,Aα1.Aα2……Aαr是否也线性无关?
不一定.
当A是零矩阵时,显然线性相关
当A是单位矩阵时,向量组相同,线性无关
事实上,当A可逆时,Aα1.Aα2……Aαr 线性无关.

1年前

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kolkolk 幼苗

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若α1.α2.……αr线性相关
则存在一组不全为零的数 k1,...,kr 使得
k1α1+...+krαr = 0
等式两边左乘A得
k1Aα1+...+krAαr = 0
所以 Aα1,Aα2.……Aαr 线性相关.

若α1.α2.……αr线性无关，Aα1.Aα2……Aαr是否也线性无关？
不一定.
当A是零矩阵时, ...

1年前

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rain20070802 幼苗

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若设B={1.α2.……αr},方程BX=0的解一定是方程(AB)X=A(BX)=0的解，因此若α1.α2.……αr线性相关，则Aα1,Aα2.……Aαr也线性相关
但若α1.α2.……αr线性无关，Aα1.Aα2……Aαr不一定线性无关
比如令A=0，则Aα1.Aα2……Aαr全为零，故必相关
事实上，BX=0与(AB)X同解的充分必要条件是A是列满秩矩阵。...

1年前

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gemshilei 花朵

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用矩阵的秩来做：记矩阵B=(Aα1,Aα2,.…,Aαr)，C=(α1,α2,.…,αr)，则B=AC。所以秩B≤秩A，秩B≤秩C。
若α1.α2.……αr线性相关，则秩C＜r，所以秩B≤秩C＜r，所以Aα1,Aα2.……Aαr也线性相关。
若α1.α2.……αr线性无关，则秩C=r，所以秩B≤秩C=r，这时候秩B不一定等于r。若A可逆，则秩B=秩C=r，Aα1,Aα2.……Aαr...

1年前

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