给定曲线族2（2sinθ-cosθ+3）x2-（8sinθ+cosθ+1）y=0，θ为参数，求该曲线族在直线y=2x上所

解题思路：联立直线与曲线方程可求交点的横坐标x1，x2，要使曲线族在直线y=2x上所截得的弦长的最大，则只要|x2-x1|最大即可，根据三角函数的性质及辅助角公式，弦长公式代入可求

由联立y=2x与2（2sinθ-cosθ+3）x²-（8sinθ+cosθ+1）y=0
得2（2sinθ-cosθ+3）x²-（8sinθ+cosθ+1）2x=0．
解得x1＝0，x2＝
8sinθ+cosθ+1
2sinθ−cosθ+3，
要截得的弦最长，就必须x₂的绝对值最大．
利用正、余弦函数有界性，上式变为：
（2x₂-8）sinθ-（x₂+1）cosθ=1-3x₂

(2x2−8)2+(x2+1)2sin(θ+φ）=1-3x₂；
因为|sin（θ+φ）|≤1，所以
5
x22−30x2+65≥|1−3x2|，
-8≤x₂≤2．
该曲线族在y=2x上截得弦长的最大值是t=
22+1(x1−x2)2=
5×64＝8
5

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的关系．

考点点评： 本题主要考查了直线与曲线相交求解交点、弦长，解题的关键是灵活利用三角函数的性质及辅助角公式及弦长公式．