Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,BE平分∠ABC,AD⊥BC,CF⊥BE. 求证:1.AG=AE 2.BE
Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,BE平分∠ABC,AD⊥BC,CF⊥BE. 求证:1.AG=AE 2.BE=2CF
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(1) ∠AGE=∠BGD=∠ABG+∠BAG
∠AEG=∠EBC+∠ECB
AB=AC,∠BAC=90°,∴∠ACB=∠BAD=45°
而AE平分∠ABC,∴∠ABG=∠EBC
∴∠AGE=∠AEG,即AG=AE
(2) 设BE中点为M,连接AM,AF
∵∠BAC=∠BFC=90
∴B,A,F,C四点共圆,∴∠FAC=∠FBC=ABM
而AM=BM,∴∠ABM=∠BAM,∴∠FAC=∠MAB
同样∠ABM=∠ACF,∴△ABM∽△ACF
又AB=AC,∴△ABM≌△ACF,∴AM=AF
即AM=BM=AF=CF,∴BE=2BM=2CF
∠AEG=∠EBC+∠ECB
AB=AC,∠BAC=90°,∴∠ACB=∠BAD=45°
而AE平分∠ABC,∴∠ABG=∠EBC
∴∠AGE=∠AEG,即AG=AE
(2) 设BE中点为M,连接AM,AF
∵∠BAC=∠BFC=90
∴B,A,F,C四点共圆,∴∠FAC=∠FBC=ABM
而AM=BM,∴∠ABM=∠BAM,∴∠FAC=∠MAB
同样∠ABM=∠ACF,∴△ABM∽△ACF
又AB=AC,∴△ABM≌△ACF,∴AM=AF
即AM=BM=AF=CF,∴BE=2BM=2CF
1年前 追问
5
也可以，那连接AF，在BE上找一点M，使得BM=CF ∵∠ACB=45°，∠FBC=45°/2=22.5° ∴∠FCA=90°-45°-22.5°=22.5°=∠MBA 又CF=BM，CA=BA，∴△ABM≌△ACF ∴AM=AF，∠FAC=∠MAB ∴∠MAF=∠MAE+∠EAF=∠MAE+∠MAB=∠BAC=90° ∴∠AMF=∠AFM=45° ∴∠MAB=∠AMF-∠MBA=45°-22.5°=22.5°=∠MBA ∴MA=MB=FC，又∠MAE=90°-22.5°=67.5°， 而∠MEA=∠ACB+∠CBE=45°+22.5°=67.5°=∠MAE ∴MA=ME，即MA=(MB+ME)/2=BE/2 ∴BE=2MA=2CF
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你能帮帮他们吗