（2012•三明模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，且AB=1，AD=CD=

解题思路：（Ⅰ）证法一：利用线面平行的判定定理证明，在四棱锥P-ABCD中，取PC的中点F，连接EF、FB，只需证明四边形AEFB是平行四边形，可得AE∥FB；
证法二：建立空间直角坐标系，设PB=t，确定平面PBC的法向量

a

=（2，-1，0），证明

AE

•

a

=0即可；
（Ⅱ）求得|

PD

|=

5+t2

，|

BC

|=

5

，利用异面直线BC与PD成60°角，结合向量数量积公式，可求PB，从而可得侧视图的面积．

（Ⅰ）证法一：在四棱锥P-ABCD中，取PC的中点F，连接EF、FB，
因为E是PD的中点，所以EF

∥
.
.[1/2]CD

∥
.
.AB，…（2分）
所以四边形AEFB是平行四边形，…（3分）
则AE∥FB，
而AE⊄平面PBC，FB⊂平面PBC，…（5分）
∴AE∥平面PBC．　　　　　　　　　　…（6分）
证法二：如图，以B为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直于AB的直线为y轴，BP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
设PB=t，则P（0，0，t），D（-1，2，0），C（1，2，0），A（-1，0，0），
所以E（-[1/2]，1，[t/2]），

AE＝(
1
2 ， 1 ，
t
2)，…（2分）
设平面PBC的法向量为

a=（x，y，z），则



a•

BC＝0


a•

BP＝0，所以

x+2y＝0
tz＝0，即

x＝−2y
z＝0.
取y=-1，得到平面PBC的法向量为

a=（2，-1，0）．
所以

AE•

a=0，而AE⊄平面PBC，则AE∥平面PBC．…（6分）
（Ⅱ）同（Ⅰ）法二建立空间直角坐标系，
设PB=t（t＞0），则P（0，0，t），D（-1，2，0），C（1，2，0），
所以

PD=（-1，2，-t），

BC=（1，2，0），
则|

PD|=
5+t2，|

BC|=
5，…（9分）
由已知异面直线BC与PD成60°角，所以

PD•

BC=|

PD|•|

BC|•cos60°=
5+t2•
5•
1
2，
又

PD•

BC=-1×1+2×2+（-t）×0=3，
所以
5+t2•
5•
1
2=3，解得t=

55
5，即PB=

55
5，
所以侧视图的面积为S=[1/2]×2×

55
5=

55
5．…（13分）

点评：
本题考点： 向量语言表述线线的垂直、平行关系；简单空间图形的三视图；异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定．

考点点评： 本题考查线面平行，考查异面直线所成角，考查利用空间向量解决立体几何问题，属于中档题．