η0是非齐次线性方程组Ax=B的特解ξ1,ξ2...ξn-r是导出组Ax=0的基础解系 证η0,ξ1,ξ2..ξn-r线

显然题目已知,ξ1,ξ2.ξn-r线性无关
下面我们首先假设η0,ξ1,ξ2.ξn-r线性相关,因此
η0=k1*ξ1+k2*ξ2+k3*ξ3+.+kn*ξn-r
两边同时乘以A,那么
Aη0=k1*Aξ1+k2*Aξ2+.kn*Aξn-r (1)
而题目中已知,ξ1,ξ2.ξn-r是其导出组Ax=0的一个基础解系
所以,Aξ1=Aξ2=.=Aξn-r=0
那么我们可以知道等式(1)的右边为0
而等式（1）的左边Aη0=B不等于0
所以推出矛盾,假设不成立,即η0,ξ1,ξ2.ξn-r线性无关
不知你是否明白了,

ξ1，ξ2...ξn-r线性无关(基础解系的性质)
η0不能被ξ1，ξ2...ξn-r线性表示,否则η0就是导出组Ax=0的解,与η0是非齐次线性方程组Ax=B的特解矛盾.
如果η0，ξ1，ξ2..ξn-r线性相关,则存在不全为0的数a0,a1,a2,....an-r使得:
a0*η0+a1*ξ1+a2*ξ2+....+an-r*ξn-r=0
a0≠0否则ξ1，ξ2...