已知函数f（x）=lnx+[1−x/ax]，其中a为大于零的常数．

解题思路：（1）f′(x)＝ax−1ax2，x＞0，由函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，知a≥1x在[1，+∞）上恒成立．由当x∈[1，+∞）时，1x≤1，能求出a的取值范围．（2）令f′（x）=0，得x=1a，当a≥12时，f′（x）＞0在[2，+∞）上恒成立，f（x）在[2，+∞）上为增函数，f(x)min＝f(2)＝ln2−12a；0＜a＜12时，∵对于x∈[2，1a)，有f′（x）＜0；对于x∈(1a，+∞)有f′（x）＞0．故f(x)min＝f(1a)＝ln1a+1−1a．由此能求出f（x）在[2，+∞）上的最小值．

（1）∵函数f（x）=lnx+[1−x/ax]，
∴f′(x)＝
ax−1
ax2，x＞0．…（2分）
∵函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
即a≥[1/x]在[1，+∞）上恒成立．
又∵当x∈[1，+∞）时，[1/x≤1，
∴a≥1，即a的取值范围为[1，+∞）．…（4分）
（2）令f′（x）=0，得x=
1
a]，…（5分）
当[1/a≤2时，即a≥
1
2]时，
∵f′（x）＞0在[2，+∞）上恒成立，
这时f（x）在[2，+∞）上为增函数，
∴f(x)min＝f(2)＝ln2−
1
2a．…（7分）
当0＜a＜[1/2]时，∵对于x∈[2，
1
a)，有f′（x）＜0；对于x∈(
1
a，+∞)有f′（x）＞0．…（9分）
∴f(x)min＝f(
1
a)＝ln
1
a+1−
1
a．…（11分）
综上，f（x）在[2，+∞）上的最小值为：
①当a≥
1
2时，f(x)min＝f(2)＝ln2−
1
2a．
②当0＜a＜
1
2时，f(x)min＝f(
1
a)＝ln
1
a+1−
1
a．…（12分）

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查求a的取值范围和求函数f（x）在区间[2，+∞）上的最小值．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质的灵活运用．