（2014•四川二模）已知函数f(x)＝a+lnxx在x=1处取得最大值，g（x）=（x+1）f（x）．

解题思路：（Ⅰ）根据函数取得极值和最值的条件，建立方程关系即可，求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数的导数，根据函数单调性和导数之间的关系即可判断函数g（x）的单调性，并求出函数g（x）的最值；
（Ⅲ）根据函数的单调性，结合导数，利用放缩法即可证明[（n+1）!]²＞e^n-2（n∈N^*）．

（I）由题意得：f′(x)＝
1−a−lnx
x2；令1-a-lnx=0，即x=e^1-a；
∴当x∈（0，e^1-a），f′（x）＞0；x∈（e^1-a，+∞），f′（x）＜0；
∴函数f（x）在x=e^1-a处有极大值；
∴e^1-a=1⇒a=1；函数f（x）解析式f(x)＝
1+lnx
x，
（II）由（I）得g(x)＝
(1+x)(1+lnx)
x；x∈[1，+∞)，
∴g′(x)＝
x2−lnx+1
x2，令h（x）=x²-lnx+1
发现当x∈[1，+∞）时，h（x）＞0；
∴函数g（x）x∈[1，+∞）在单调递增；
故存在最小值为：g（1）_min=2．
（III）由（II）得g(x)＞
2
x+1恒成立，即lnx≥
x−1
x+1＝1−
2
x+1＞1−
2
x
令x=n（n+1），则ln[n(n+1)]＞1−
2
n(n+1)，
∴ln(1×2)＞1−
2
1×2，ln(3×4)＞1−
2
3×4ln[n(n+1)]＞1−
2
n(n+1)；
叠加可得：ln[1×22×32×n2×(n+1)]＞n−2[
1
1×2+
1
2×3+
1
n(n+1)]
=n−2(1−
1
n+1)＞n−2+
1
n+1＞n−2（不等式性质传递性）
则1×2²×3²×n²×（n+1）²＞e^n-2．
故[（n+1）!]²＞（n+1）×e^n-2（n∈N^*）．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；函数解析式的求解及常用方法；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本小题主要考查函数、导数等基础知识，利用函数单调性和极值与导数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．